В конце курса матанализа наш преподаватель переживал за нас: "Как же вы будете жить без эпсилон больше нуля?!" :)

Можно для общего развития ссылку на литературу по этому вопросу?

Я хоть и не автор, но спрошу - по какому вопросу?
Вообще про кванторы? Про пределы и непрерывность в мат-анализе?
Про обучение восприятию длинных цепочек кванторов?

Да простят меня знатоки, но объясните, обязательно ли самоучкам знать мат. анализ? Возможно он им действительно никогда не пригодится в тех работах, которые встретит. Но и буду благодарен за пример работы, где без мат.. анализа ну никак не выкрутиться.

Максимум минимум искать понадобится самоучкам?

Мне коллеги говорили, что в былые годы первокурсников матмеха косил матан, а вот в последнее время - алгебра.

О, времена меняются. Наших однокурсников, помнится, тоже больше косил матан. А потом фан.

на радиофаке УПИ всё ещё так и дают с первого курса - матан+линейная алгебра, потом уже остальное

В Урфу надо сказать этим же все примерно и заканчивается, никакой современной математики там не было и не предвидится, правда и в других вузах дело обстоит не лучше.

Как программист самоучка согласен. Кванторы и работу с ними я учил в, прости господи, политехническом институте во время курса высшей математики и с ними на самом деле может быть сложно пока не привыкнешь.
Человек учащий это привыкает не столько к кванторам, сколько к строгости и плотности нотации в общем виде и вообще математическому языку: ему элементарно надо выучить что обозначают эти странные закорючки.

Мой младший брат во время армии взял какой-то начальный математический курс в открытом университете (линейная алгебра, вроде). Он служил в Гивати, в роте Цабар. Так вот, какой-то деятель из роты попросил у него посмотреть учебник и отреагировал на увиденное внутри так: "Эти идиоты не знают английского потому что А и Е пишут наоборот."

Я в цепочке застрял на "больше n ∃ существует " существует-существует??

А про курсы.. Матан и дифуры (ну и тензоры по хорошему) сильно привязаны например к физике, которая у нас была 1-3 курсах. Отодвигать непрофильный предмет на старшие курсы - спорная затея. Давать физику без матана в универе - вообще время терять.
А кванторы в той же топологии, логике и прочей алгебре вроде встречаются в куда более жестком виде чем в матане, на мой вкус по крайней мере.

Исправил описку, спасибо.

Толик, а можешь прислать линк на обьяснение двойных нотаций ∀∃ и ∃∀? Я чего-то их не припомню :-(
Или ты имеешь ввиду, что они не идут так подряд, а просто утверждения типа: "для любого х существуют такие у, что..."

Да, именно это имею в виду, ничего особенного.

Я не вижу какой-то проблемы в понимании формулировки леммы, но я тут явно biased, т.к. у меня в университете была куча логики, абстрактной алгебры, теорий алгоритмов и формальных спецификаций (хоть и конкретно с этой леммой я не сталкивался).

Но ИМХО, человеку, в целом, сообразительному, должно быть сравнительно легко растолковать, только это займёт не 2 минуты, за которые большинство людей привыкли решать все насущные математические вопросы, а, может, час-другой. Проблема в лени, человеку не хочется разбираться час, но вот на написание поста вроде этого у него час нашёлся.

Но при этом соглашусь, что лемма, правда, слишком заумно сформулирована.
Куда легче сказать, что регулярные языки это те и только те, которые распознаются конечными автоматами, и дальше всё совсем очевидно: у конечного автомата, ясен пень, конечное число состояний (скажем, N), поэтому, как ни крути, совершенно очевидно, что после попадания одно из конечных состояний (не более, чем за N-1 шагов), не позже, чем через ещё N-1 шагов возникнет цикл. Следовательно слово, сооветствующее этому циклу, может повторяться сколько хочешь раз, и всё равно будет матчиться, ЧТД (выбираем p >= N и понеслась...)


Edited at 2013-08-20 07:13 (UTC)

Мне кажется, что верно более сильное утверждение. Помимо её (преполагаемой) педагогической ценности, другой пользы от pumping lemma просто нет. Я не знаю примеров языков, нерегулярность которых проще и понятней доказывается с использованием pumping lemma, чем без неё.

Например, классический язык "сбалансированных скобочек". Вот доказательство его нерегулярности без этой леммы: возьмем конечный автомат А, и докажем, что, каким бы он ни был, он этот язык не распознает. В самом деле, найдутся n и m такие, что после (ⁿ и после (^m автомат А находится в одном и том же состоянии. Это означает, что он ошибется либо на строчке (ⁿ)ⁿ, либо на строчке (^m)ⁿ. Доказательство с применением pumping lemma не лучше, кажется, ни в каком смысле. Оно и длиннее, и хуже воспринимается.

Edited at 2013-08-20 11:47 (UTC)

На самом деле изучение матанализа нельзя откладывать из за физики.
И если механику хоть как-то можно попытаться преподать обьясняя матанализ на ходу, что обычно и делается, так как механика начинается в первом семестре,
то уравнения максвелла с их ротором и дивергенцией без матанализа фиг обьяснишь.

На самом деле начала нормальной алгебры можно давать еще в школе. Колумбийская программа unified modern mathematics для школьников тому примером.

Не, не поэтому. А потому что обучают от частного к общему. Ну а чем беднее теория, тем больше в ней требуется перемен кванторов, поэтому понимание закономерно падает.

Даже профессиональные математики (за редкими исключениями) с большим трудом понимают высказывания, содержащие три и более квантора.

Более того, появление таких высказываний надо считать большим педагогическим грехом. Есть разные способы препарировать длинные логические конструкции, вводя промежуточные понятия и упражняясь с ними.

Например, обсуждая пресловутые эпсилон-дельты, можно сначала ввести понятие стабилизации числовой последоватьности и поупражняться с ним, привыкнув к тому, что разные последовательности стабилизируются в разное время, потом ввести понятие "приближенной" стабилизации, или эпсилон-стабилизации, после чего уже в один шаг даётся определение сходящейся последовательности как такой, которая эпсилон-стабилизируется при любой наперед заданной точности измерения эпсилон.

Помогают еще "психологические подпорки", когда какие-то объекты объявляются "переменными", какие-то - "параметрами" и т.д.

В любом случае, на понимание сложной конструкции с многими кванторами надо затратить длительное время.

Ну вот так на ровном месте ввести два лишних определения - это тоже как-то не здорово. По моему проще жить с многоуровневыми высказываниями, чем с объектами, которые нужны только для разбиения конкретного высказывания на две части.

Про кванторы:

:)))

В тему кванторов: branching quantifiers видели? Я сильно удивился, когда узнал.

Да, я когда-то подробно вникал в "independence-free logic" Хинтикки, которую он предложил считать более фундаментальной, чем обычная логика первого порядка, но ее семантика, если я правильно помню, определялась только через игры (что возможно и для обычной логики первого порядка, конечно), и это не добавляло уверенности.

Помнится, нам К.П. Кохась давал задачку "написать определение того, что эпсилон стремится к нулю, когда дельта стремится к нулю".