[Spoiler (click to open)]
1. а) Действительная функция f выполняет заключение теоремы о промежуточном значении. Дано также, что она принимает каждое возможное значение ровно один раз. Доказать, что она непрерывна. б) Обобщить на случай, когда f принимает каждое возможное значение только конечное число раз.
Решение сразу для 1б). Рассмотрим произвольную точку x0, в которой f(x0)=y0, и выберем интервал (y0-ε,y0+ε) вокруг ее значения. У двух точек y0-ε и y0+ε вместе есть только конечное число прообразов, поэтому мы можем найти такой достаточно маленький интервал (x0-δ,x0+δ) вокруг x0, в котором не лежит ни один из этих прообразов этих двух конкретных точек. Тогда для любой точки x в этом интервале ее значение f(x) не может выходить за пределы (y0-ε,y0+ε): например, если f(x) > y0+ε, то согласно заключению теоремы о промежуточном значении, которому подчиняется f, между x и x0 найдется x' с f(x') = y0+ε, т.е. прообраз, которого, мы знаем, там нет. Мы показали, что образ интервала (x0-δ,x0+δ) целиком заключен в интервале (y0-ε,y0+ε), и тем самым доказали непрерывность f в точке x0.
2. Пусть n - четное число. Доказать, что не существует непрерывной действительной функции f, принимающей каждое возможное значение ровно n раз.
Сначала докажем для случая, когда "каждое возможное значение" относится ко всему R, а не только к области значений f. Рассмотрим n прообразов значения 0 (т.е. n нулей функции f), обозначим их x1...xn слева направо. Они делят ось x на n+1 областей: от минус бесконечности до x1, между соседними иксами, и от xn до плюс бесконечности. В каждой отдельной области функция f может быть либо только положительной, либо только отрицательной: если бы она внутри области принимала и положительное и отрицательное значения, это бы создало согласно теореме о промежуточном значении еще один ноль там, где его быть не может. Поэтому мы можем классифицировать каждую область как "отрицательную" или "положительную". При этом две крайние области должны быть разных знаков: если бы скажем они обе были отрицательными, то у функции был бы глобальный максимум, т.к. на интервале [x1,xn] она ограничена, и тогда ее областью значения не может быть все R. Скажем для примера, что крайняя левая область отрицательная, а крайняя правая положительная.
Выберем в каждой из n+1 областей какую-то репрезентативную точку y, и возьмем ε так, чтобы он был меньше, чем абсолютные значения функции на всех репрезентативных точках f(y0)...f(yn). Тогда теорема о промежуточном значении в применении к репрезентативным точкам и границам областей гарантирует нам следующее. В крайней левой области как минимум один прообраз -ε, в крайней правой области как минимум один прообраз +ε, а в каждой внутренней области как минимум два прообраза либо -ε, либо +ε, в зависимости от того, отрицательная это область или положительная. Суммируя все эти гарантии, мы видим, что на два значения -ε,+ε вместе у нас гарантировано как минимум 1+1+2(n-1)=2n прообразов. Но согласно условию, эти две точки обязаны вместе иметь ровно столько прообразов. Значит, все "как минимум" в гарантиях на самом деле "в точности".
Но теперь мы приходим к противоречию, пытаясь подсчитать, скажем, прообразы +ε. Один прообраз от крайней правой области, и по два от каждой внутренней положительной области вместе дают точное число прообразов +ε. Но эта сумма не может быть четным числом n.
Теперь предположим, что условие позволяет, чтобы областью значения f было не все R, т.е. кол-во прообразов каждого значения либо n, либо 0. Тогда уже необязательно, чтобы крайние области были разных знаков, и именно в случае, когда они одного знака, скажем, обе отрицательные, доказательство выше не работает. Но в этом случае у функции есть глобальный максимум M. Ту же классификацию на области, что мы делали с помощью нулей функции, проведем теперь относительно n прообразов значения M. Тогда выйдет, что все области отрицательные, и же выбор ε по той же системе, что и раньше, показывает, что M-ε гарантированно имеет 2n прообразов, а никак не n - противоречие.