Самое забавное, конечно, что эту сумму можно физически «измерить», с помощью эффекта Казимира.

А, ну у Тао в блоге это написано, собственно.

нк ващще народ

Фил Плейт ещё один пост написал, где объяснил свою ошибку: www.slate.com/blogs/bad_astronomy/2014/01/18/follow_up_the_infinite_series_and_the_mind_blowing_result.html

Он не понял своей ошибки и пытается словесными выкрутасами спасти свою репутацию, чем губит ее окончательно. По-моему, он просто дурак с раздутым самомнением.

А нельзя ли это как-то увязать с физической интерпретацией отрицательных температур? По крайней мере, как и должно быть, для более быстро расходящихся рядов результат получается ближе к нулю. Вот только что-то не могу придумать, как в такой модели должна выглядеть операция сложения.

Вроде, не только поэтому. Цимес не в том, что берётся какая-то произвольная формула и применяется там, где не надо. Важнее то, что если взять любую формулу (подчиняющуюся неким требованиям "разумности"), которая даёто ответ в данном случае, то получится именно такой ответ.

есть ответ "бесконечность" - в ТФКП например. есть ответ "плюс бесконечность" или ответ "нет суммы" в матане. есть "минус одна вторая" в другой системе. они все разумные. а какие кстати ещё есть, кроме "сумирования" по формуле прогрессии?

Видео неправильное, потому что в таких случаях (когда объясняют нечто про сложные объекты, не определив их, а просто демонстрируя несколько приемов обращения с ними) надо, чтобы приемы были честные. Складывание со сдвигом - нечестный прием. Если можно складыванием со сдвигом получить значение S2, то почему бы не сложить S1 с собой со сдвигом и получить (неверное) S1=1?

Да, видео совершенно дурацкое, я хотел об этом написать, но забыл. Сейчас добавлю, спасибо.

давайте рассмотрим функции x и |x|.

Сначала заметим, что когда х-положительный, например 5, то |x|=x (и оба =5).

А потом как-бы продолжим это равенство в отрицательную область : |x|=x, откуда выведем |-5|=-5. и таким образом (тк |-5|=5) получим что -5=5. Может быть в этом тоже "таится определенный смысл и даже кое-то в физике можно этим объяснить" -)) ?.

Тот, кто написал символ ||, видимо, умеет обращаться с отрицательными числами, так что такие рассуждения выглядят несколько натянуто.

Сумма расходящегося ряда не есть число в обычном понимании. Его нельзя просто так вот взять и сравнить с тем, что справа, без дополнительных притопов, прихлопов и определений. А так - type mismatch, compile failed.

а это точно "математика", не "юмор"? ))

Мне больше нравится представление этой «суммы» как значение дзета-функции в -1.

а оно не окажется в некотором смысле эквивалентным тому, что получается по формуле прогрессии? ну то есть может быть так, что способ, которым вычисляется "значение" дзета-функции в -1 окажется тем же, что и способ "вычисления" через прогрессию?

> Это чистый обман народа и фричество; хорошо известно, что складывая и переставляя члены в таких рядах, можно получить любой желаемый результат

Все-таки когда мы не меняем порядок членов, а сдвигаем и складываем, это соответствует примерно «добавлению градуировки» — т.е. переходу от числового ряда $\sum a_n$ к степенному ряду $\sum a_n t^n$ — и манипуляциям в кольце формальных степенных рядов (умножению на $1+t^k$, типа).

Ну дальше то, о чем вы говорите (как заметил Эйлер, $\sum(-1)^n n^{-s}t^s$ — рациональная функция, у которой можно вычислить значение в единице...).

Гхм.
А может проще?
Частичная сумма геометрической прогрессии n первых членов

S = b₁(1 - qⁿ) / (1 - q)

(да, я подсмотрел в википедии)
Ну а дальше видно, что если q < 1, то с увеличением n сумма стремится к конечному числу (при желании легко проделать соотв. преобразования и убедиться, что слагаемое qⁿ / (1 - q) стремится к нулю).

А если q > 1, то сумма расходится.

Собственно, это q^n и есть тот "тайный" параметр, про который пишет avva. При n=+inf и q<1 он - 0.

Edited at 2014-01-19 21:19 (UTC)

Два момента, если мы говорим про сумму степеней двойки (1+2+4+...), то как 2-адическое число она вполне законно равна -1, и это ничему не мешает. Хотя конечно ни в какой p-адике одну двенадцатую не получить
Второе, насколько я понимаю в теории перенормировок собственно и считают условно сходящийся ряд, потому в видео возможно и показали это процесс. Насколько физично взятие скобок именно таким образом - не знаю

Недавно читал стенограмму лекции Леона Тахтаджяна, там рассказывалось про эту формулу, но как-то совершенно невнятно.

Все это так, да не совсем так.
Во-первых, любую сумму перестановкой слагаемых можно получить не у любого расходящегося ряда, а как раз у любого сходящегося, но условно (а не абсолютно) сходящегося.

Во-вторых, в свете этого факта, понятно, что суммирование бесконечных рядов - это функция от последовательности слагаемых, очень чувствительная к перестановкам. Отсюда понятно, что переставлять слагаемые у бесконечного ряда в процессе поиска "суммы" нельзя.

В-третьих, с чего бы эта функция на бесконечных рядах должна давать что-то похожее на определение предела? Предел - хорошая штука, там где работает. Если у частичных сумм есть конечный предел - это хорошее определение суммы ряда. Если нет предела, а какое-то число, обладающее некими интуитивными свойствами "суммы", с рядом связать хочется - значит надо искать другие определения, а не предел. (Если что, я собаку сьел не одну курсовую написал на мат-мехе про обобщенные суммирования рядов)
Единственное жесткое ограничение на определение суммы бесконечного ряда - это то, что ровно этот же метод в применении к конечному ряду должен давать обычную сумму.
Как-то люди упускают, что определение через предел частичных сумм тоже условно.


Ваши возражения можно прозрачно перенести на дифференцирование не-дифференциуемых функций, в смысле обобщенных производных и распределений. Там тоже твориться мистика, для человека, привыкшего воспринимать производную как предел угла наклона касательных. Но эта техника работает, и дает адекватные результаты, строго математические.

Edited at 2014-01-20 09:29 (UTC)

хороший комментарий, да

всё ощущение "мистики" как раз и возникает от смешивания "суммы" как некой специальной функции от последовательности слагаемых (как в суммировании по Чезаро, которое Вы напомнили выше), и суммы как предела. Люди начинают последовательно складывать 1, 2, 3, ..., видят что это даёт стремящийся к бесконечности положительный результат, а с другой стороны вроде как "сумма" (в специальном смысле) будет конечная, да ещё и возможно отрицательной - и возникает такое вот ощущение чуда. Но оно вызвано смешиванием разных смыслов слова "сумма", конечно.

Если бы в таких видео и статейках сразу говорили так: математики называют "суммой ряда" определённую функцию, которая для многих рядов совпадает с тем, к чему стремится частичная сумма ряда, но для других вовсе нет - то никакого ощущения "чудеса да и только" ни у кого бы не возникло, я думаю.