Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

независимое

Забавная ссылка:

What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC?

Там есть интересные примеры утверждений, которые не зависят от аксиом теории множеств (т.е. невозможно в ней ни доказать их, не опровергнуть), хоть на первый взгляд такими и не кажутся.

Самый удачный пример - это выглядящее несомненно верным утверждение: если множество A меньше размером множества B, то у A есть меньше подмножеств, чем у B.

Это хороший пример, потому что на первый взгляд это выглядит как одно из типичных утверждений, которые несоменно верны, но требуют аксиомы выбора для своего доказательства (т.е. C в ZFC, Choice в системе Zermelo-Fraenkel with Choice). Например, без аксиомы выбора нельзя доказать, что счетное объединение счетных множеств само счетно. Или еще хороший парадоксальный пример: без аксиомы выбора, в одной ZF, возможна ситуация, в которой квадрат можно разбить на больше частей, чем в нем есть точек.

Но обычно аксиома выбора закрывает все эти дырки, и в ZFC такие аномалии исчезают; а вот процитированное выше утверждение, хоть и тоже кажется таковым, все же независимо от ZFC.
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 29 comments