без аксиомы выбора, в одной ZF, возможна ситуация, в которой квадрат можно разбить на больше частей, чем в нем есть точек Непонятно. Ведь ZF строго слабее ZFC, поэтому ложное в ZFC никак не может быть истинным в ZF. Наверно вместо «возможна ситуация, в которой» имелось в виду «нельзя опровергнуть, что».
"возможна ситуация", видимо, означает "возможно такое расширение системы аксиом".
как не может, а отрицание аксиомы выбора?
В ZF, насколько я понимаю, нет отрицания аксиомы выбора.
да, конечно. Неправильно прочитала.
Да. "Возможна ситуация, в которой" = "можно построить модель ZF, в которой"
А что такое definable well-ordering?
Я бы предположил, что это "конструктивно заданное полное упорядочивание".
Да, то, что утверждение "There is no definable well-ordering of the real numbers." недоказуемо в ZFC - это круто. Это взрывает мой мозг.
Edited at 2014-01-30 20:17 (UTC)
Определимое с помощью логической формулы 1-го порядка с параметрами, т.е. есть формула ψ и множества a1...an такие что, x предшествует y в упорядочивании равносильно тому, что ψ(x,y,a1...an) - верное высказывание. Если V=L то существует определимое полное упорядочивание всей вселенной теории множеств, не только вещественных чисел.
А можно подробнее, что такое V и L? Буду благодарен.
Нашёл, но это вряд ли можно в нескольких словах объяснить, так что вопрос снимается.)
Иными словами, вместо констатации существания упорядочивания - некая "вменяемая" формула для сравнения?
Ну да ("формула" - в смысле, определяемом в мат. логике, т.е. выражение из символов ∈ , =, знаков переменных, логических союзов и кванторов общности и существования.)
А есть ли при этом "формула" (в каком-либо смысле) для определения наименьшего элемента в любом заданном непустом подмножестве?
формулу, которая говорит, что данный элемент - минимальный в множестве, легко получить из формулы, определяющей порядок
> Например, без аксиомы выбора нельзя доказать, что счетное объединение счетных множеств само счетно.
Кажется, аксиома выбора необходима все же для доказательства |AxA|=|A| лишь в случае более чем счетных множеств. Или имеется в виду, что биекции счетных множетсв на N не зафиксированы заранее и требуется их счетное число выбрать?
Я тоже про это подумал, NxN=N вроде получается прямым вождением пальца по бумаге, так что тут наверное не требуется аксиома выбора. Наверное действительно дело в том, что доказательство (\forall i\in N A_i=N) => \cup_1^\infty A_i=NxN её требует.
Да, без аксиомы выбора вы не можете одновременно выбрать по одной биекции каждого из счетных множеств на N.
Есть счетная аксиома выбора - ослабленная версия, с ней уже можно строить значительную часть обычной математики.
Нет, почему нельзя? Можно.
По-моему, |A×A| = |A| и для больших мощностей доказывается без аксиомы выбора. Ну вот например, |R×R| = |R| доказывается вполне конструктивно: берём цифры через одну.
Такой трюк проходит только для мощностей вида 2α (update: вру, даже для таких не всегда работает). Общее же равенство равносильно AC.
Edited at 2014-01-31 07:08 (UTC)
Сначала долго думал что такое размер множества. Потом пошел по ссылке. Понял, что речь про мощность. пытался понять как у большего множества может быть меньше мощность. Потом прочитал, что написано по ссылке. И понял, что они равномощны.
Но равномощность $2^{|\omega|}$ и $2^{|\omega_1|}$ мне не кажется чем-то совершенно неправдоподобным. Ведь равномощны же, например $2^c$ и $N^c$.
А парадокс со сферой которую можно разбить и сложить из частей две такие же сферы, разве не из этой же серии?
Это в ZFC. Это пример парадоксальных следствий аксиомы выбора.
Ну да в ZFC, ну так и пост вроде про ZFC, нет?
Это утверждение, разрешимое в ZFC. Пост про утверждения, в ZFC неразрешимые.
Ой, а я думал он в ZFC сохраняется. Получается я ошибся и мой предыдущий коммент не в тему. А вот ZFC с аксиомой регулярности, снимает эти противоречия?
> Ой, а я думал он в ZFC сохраняется.
Он там появляется. Это утверждение, независимое от ZF, но доказуемое в ZFC.
> снимает эти противоречия?
О каких противоречиях вы говорите? | 
