What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC?
Там есть интересные примеры утверждений, которые не зависят от аксиом теории множеств (т.е. невозможно в ней ни доказать их, не опровергнуть), хоть на первый взгляд такими и не кажутся.
Самый удачный пример - это выглядящее несомненно верным утверждение: если множество A меньше размером множества B, то у A есть меньше подмножеств, чем у B.
Это хороший пример, потому что на первый взгляд это выглядит как одно из типичных утверждений, которые несоменно верны, но требуют аксиомы выбора для своего доказательства (т.е. C в ZFC, Choice в системе Zermelo-Fraenkel with Choice). Например, без аксиомы выбора нельзя доказать, что счетное объединение счетных множеств само счетно. Или еще хороший парадоксальный пример: без аксиомы выбора, в одной ZF, возможна ситуация, в которой квадрат можно разбить на больше частей, чем в нем есть точек.
Но обычно аксиома выбора закрывает все эти дырки, и в ZFC такие аномалии исчезают; а вот процитированное выше утверждение, хоть и тоже кажется таковым, все же независимо от ZFC.
