Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

теория множеств (математика)

Читаю книгу Кунена по теории множеств (для себя, просто чтобы вспомнить кое-какие вещи). Некоторые теоремы и леммы пытаюсь доказывать сам, не заглядывая в текст. Заржавевшие мозги страшно скрипят. Над следующей задачкой вчера думал три часа, но все-таки придумал. Может, кому-то еще будет интересно подумать над элементарной леммой из теории множеств:

Набор множеств S называется дельта-системой, если есть такое фиксированное множество r, что пересечение любых двух разных множеств из S равно в точности r (в частном случае r = Ø S является попарно непересекающимся). Доказать, что у любого несчетного (uncountable) набора конечных множеств X есть опять-таки несчетный поднабор S, являющийся дельта-системой.

Мое доказательство под катом.

[спойлер]

Мое доказательство: пусть дан несчетный набор X конечных множеств. Сгруппируем все множества размером n в нем в поднабор X_n. Хотя бы один X_n должен быть несчетным, и достаточно доказать утверждение леммы для него, т.е. зная, что все множества одного размера n. Доказывать будем индукцией по n. В случае n=1 X_n является попарно непересекающимся и доказывать ничего не надо.

В общем случае зададимся вопросом, есть ли элемент y, который входит в несчетное количество членов X_n? Если да, то рассмотрим только поднабор Y, состоящий из множеств, содержащих y, и удалим из всех этих множеств y. Получим несчетный набор с множествами размером n-1, по индуктивному предположению в нем найдется дельта-система над фиксированным множеством r, и добавив обратно y к множествам этой дельта-системы и к r, получим искомое.

Если же каждый элемент, который встречается в множествах X_n, входит в них максимум счетное число раз, то построим несчетный попарно непересекающийся поднабор следующим образом. Выбираем любой член набора {x_1...x_n}, и выбрасываем из рассмотрения все члены, в которых есть любые из элементов x_1...x_n. Таковых не более чем счетное число, поэтому у нас все еще остается несчетное число кандидатов X_n, и мы можем повторить эту процедуру несчетное число раз и построить несчетный попарно непересекающийся поднабор.
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 15 comments