Попалась мне тут статья Джона Стиллвелла "Galois Theory For Beginners" и очень понравилась. Стиллвелл показывает, как всего на 4-х страницах можно доказать знаменитую теорему о неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени и выше. Идея его подхода в том, что большая часть стандартного аппарата теории Галуа - нормальные расширения, сепарабельные расширения, и особенно "фундаментальная теорема теории Галуа" для этого применения практически не нужны; те их небольшие части, что нужны, можно в упрощенном виде вставить в текст доказательства. Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах. Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным: 1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u 1 ...u n , и строим поле Q 0 = Q(u 1 ...u n ) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Q i и получать таким образом Q i+1 (формально говоря, Q i+1 это поле разложения многочлена x m -k, где k в Q i ). Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" x n + u 1 *x n-1 + u 2 *x n-2 ... будет раскладываться на линейные множители: (x-v 1 )(x-v 2 )....(x-v n ). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q 0 до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3. 2. Пусть есть расширение E над Q(u 1 ...u n ), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v 1 ...v n . Тогда можно доказать, что Q(v 1 ...v n ) изоморфно Q(x 1 ...x n ), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v 1 ...v n , корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v 1 ...v n ) / Q(u 1 ...u n ) с расширением Q(x 1 ...x n ) / Q(a 1 ...a n ), где a i - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v 1 ...v n , следует теперь, что любая перестановка v 1 ...v n порождает автоморфизм Q(v 1 ...v n ), который таким образом перестанавливает корни. 3. Любое расширение Q(u 1 ...u n ) в радикалах, которое включает в себя v 1 ...v n , можно расширить дальше в симметричное относительно v 1 ...v n расширение E'. Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u 1 ...u n , а значит и через v 1 ...v n (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v 1 ...v n . В итоге E' обладает следующим свойством: любая перестановка v 1 ...v n расширяется до автоморфизма Q(v 1 ...v n ), который расширяется до автоморфизма E', который при этом фиксирует все элементы Q(u 1 ...u n ) (из-за симметричности формул Виета). 4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений G i = Gal(E'/Q i ), т.е. автоморфизмы E', которые фиксируют все элементы Q i , где Q i - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u 1 ...u n ) до E'. Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая G i+1 является нормальной подргруппой G i , и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G 0 = Gal(E'/Q(u 1 ...u n )), и сходит до 1 = Gal(E'/E'), потому что автоморфизм E', фиксирующий E' целиком, есть только один. 5. Мы знаем из пункта 3, что G 0 включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v 1 ...v n есть автоморфизм в G 0 , расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и G i включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v 1 ...v n , которые циклично прокручивают 3 элемента), то и G i+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u 1 ...u n ), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".