Ух-ты! Весной, по наводке Шкробиуса, прочитал доказательства невозможности разделить угол на три части и построить куб удвоенного объема циркулем и линейкой. Понял что это самая красивая математика, какую я в жизни видел. С тех пор мечтал о чем-то подобном про теорию Галуа. Буду разбираться.

Собственно, это она и есть. Циркуль и линейка позволяют присоединять корни квадратные, что соответствует группе, фактором которой по подгруппе мощности два является данная. То есть, в итоге в группе нового поля должна быть цепочка подгрупп с факторами, состоящими из двух элементов.

Ну и то, что группа из трёх элементов (получающаяся присоединением корней третьей степени) в такое не вкладывается - это уже детская задачка.

Собственно, поэтому я и захотел прочесть про неразрешимость уравнений в радикалах после задач на построение.

Надо всё же различать теорию Галуа для математиков и теорию Галуа для старшеклассников.

С точки зрения любознательного старшеклассника рассказ надо начинать издалека. Что такое корень квадратный? а кубический? Как извлечь корень кубический из комплексного числа? (геометрически это - задача о трисекции угла, циркулем и линейкой неразрешимая). Значит, корень из а - это решение простейшего уравнения вида "икс в энной равно а". Если мы не знаем, как решать такое уравнение, - значит, мы вообще ничего не знаем об уравнении степени эн.

Хорошо, скажет старшеклассник, давайте договоримся, что такие простейшие уравнения мы решать "умеем", - есть у нас чудо-значок радикала, который даёт решение. Сможем ли мы после этого решать другие уравнения?

Ответ для эн=2,3,4, - да. Есть список трюков, при помощи которых самое общее уравнение степени эн может быть сведено к решению нескольких вспомогательных уравнений простейшей формы. Для эн=4 даже простейшая форма не нужна: корень четвёртой степени - это корень квадратный из корня квадратного. А вот без кубического корня, увы, не обойтись...

Оказывается, при эн равном 5 счастье заканчивается: уравнений пятой степени больше, чем всё то, что можно произвести трюками с подстановками. Доказать это непросто, но и не безумно сложно: надо рассмотреть уравнение пятой степени и один из его коэффициентов объявить параметром. Когда параметр меняется, корни меняются, а если параметр описывает замкнутый путь на комплексной плоскости, корни в процессе обхода будут переставлены между собой. Процесс перестановки несложно проконтролировать и описать. С другой стороны, для любой формулы, записанной радикалами, значения функции тоже будут переставляться между собой, когда аргументы под радикалами гуляют. Оказывается, перестановки значений функций, заданных радикалами, можно явно описать: связано это с тем, как корни уравнения "икс в энной равно а" перестанавливаются, когда значениие а описывает круг с центром в нуле на комплексной плоскости. Эта группа циклическая, а значит, коммутативная. Значит (упражнение на владение терминологией) группа перестановок любого радикального выражения "разрешима". А у уравнения 5-й степени, вообще говоря, группа перестановок корней неразрешима. Это всё отлично написано в книжке Алексеева "Теорема Абеля в задачах и упражнениях" (записи лекций Арнольда). TBC

Из теоремы Абеля следует, что "простейших" уравнений не хватает, чтобы решить все уравнения. Клейн явно ответил на вопрос, чего не хватает в супе: он дописал одно-единственное уравнение (с одним параметром). Если мы придумаем специальный значок для решения этого уравнения, - все остальные уравнения 5-й степени будут "явно решаться".

Дальше вопрос потерял смысл: ясно, что для любого эн есть небольшой набор "простейших" уравнений, таких, что если мы умеем решать их, - сможем решить и вообще любое уравнение степени эн. Из общих соображений "ясно", что придётся со временем вводить специальные значки, зависящие от нескольких переменных, и число таких "простейших" уравнений будет расти.

Можно ли ограничиться значками от не более, чем 17 переменных? Кажется, ответ на этот вопрос неизвестен (соответствующая проблема Гильберта была "похоронена" заживо). Имеет ли смысл выписывать "простейшие" уравнения явно? очевидно, что нет.

Теория Галуа "для математиков" имеет вполне конкретный смысл, в общем почти не связанный уже с разрешимостью уравнений в радикалах, - но только потому, что так распорядилась теория групп ;-) Разрешимость групп оказалась куда как более фундаментальным понятием, чем это казалось Галуа.

Но это тема для отдельной сказки: Шехерезада предпочла бы, чтобы её рассказала более компетентная докладчица.

Да, как-то так - только я не понял про "так уж распорядилась теория групп". Теория Галуа весьма полезна даже над теми полями, для которых все расширения разрешимы (например - над локальными).

Ну, я хотел сказать, что теория Галуа давно переросла (как источник идей и конструкций) исходную задачу о решении уравнений. Напишите о пользе галуёв над локальными полями (я в этом почти ничего не понимаю), - и будет вам щастье и несть числа поклонников ;-)

Зачем писать мне, если все весьма прилично написано уже до моего рождения?:) Теория Галуа чуть менее актуальна только тогда, когда все промежуточные расширения очевидны - то есть, для вещественных чисел и конечных полей.

Я не специалист, но мне казалось, что нынешнее содержание теории Галуа, - перевод свойств группы Галуа расширений в соотношения между свойствами поля и подполя. А уж какие там свойства, - аллах теории групп их ведает... А вот вопросы о том, какие из конструкций в расширенном поле спускаются в подполе, - о, тут много чего можно спросить, даже не будучи алгебраистом ;-)

Предположим, группа Галуа коммутативно. Означает ли это, что мы умеем предъявлять все такие расширения? Отнюдь нет.

вы про когда нет корней из единицы?

Да.

Спасибо, это здорово, посмотрю на книжку Алексеева.

Если будет интересно про заживо похороненную проблему Гильберта, - есть такой скромняга yburda, который знает про неё куда больше, чем я.

Рискуя показаться назойливым, повторю ещё раз тезис про разрешимость групп vs. разрешимость уравнений, в стиле Винни-Пуха.

Разрешимость групп = наличие цепочки с коммутативными факторами.

А коммутативная (конечная) группа = сумма примарных циклических.

А циклическая группа = группа перестановок корней энной степени.

Исторически процесс шёл снизу вверх. Сегодня, с высоты наших познания, мы видим, что он был неожиданно (? Лагранж бы не согласился) удачен и красив, даже спускаясь сверху вниз.

То, что за пределами конечных групп понятие разрешимости оказалось очень полезным - чудо (заранее никто не мог обещать). То, что это чудо сработало ещё раз в дифференциальной теории Галуа - знамение свыше ;-)

Извините за тупость, а можно подробнее пояснить, что значит "снизу вверх" и "сверху вниз" в этом случае, как-то я не улавливаю?

Ну, всё условно, конечно, но говоря про "снизу вверх", я имел в виду "от конкретной задачи - к общей теории". Смотрим, как ведут себя значения многозначных выражений, собранные из радикалов. Добавление радикала, - грубо говоря, расширение при помощи новых элементов, которые переставляются между собой как корни уравнения "икс в энной равно а", т.е., циклически, пользуясь современным языком. Арифметические операции (действия в поле) однозначны, поэтому, очень сильно огрубляя, получаем, что добавление радикалов эквиваленто расширению поля с циклической группой Галуа. Циклическая группа - коммутативна, значит, всё, что можно выразить радикалами, имеет разрешимую группу Галуа.

В обратную сторону, "от общей теории" до "конкретной задачи": неожиданный (хм...) факт состоит в том, что любая конечная коммутативная группа раскладывается в произведение циклических, а это (на том же философском уровне аккуратности) означает, что любое расширение с коммутативной группой порождено добавлением нескольких радикалов. Значит, разрешимая группа соответствует разрешимому (в радикалах) уравнению.

В других вариантах теории Галуа (скажем, дифференциальная т.Г.) допустимым является расширение (дифференциального) поля посредством взятия первообразной (решение уравнения игрек штрих равно эф) и экспоненты от первообразной (игрек штрих равно эф игрек), - заметим, что само по себе потенцирование не разрешено ;-) При таком выборе оказывается, что разрешимость в смысле группы Галуа эквивалентна разрешимости уравнения по Лиувиллю. Задача решена сверху вниз, - с небольшим подвохом: наверное, напрягшись, можно было бы придумать иное определение разрешимости дифференциального уравнения, и тогда подход Галуа надо было бы переделывать до основанья...

Вот текст из ещё не опубликованной до конца монографии с рассказами про несколько тем, обсуждавшихся в этом посте.

Я думаю, что народ имеет право знать, - соответственно, линк можно раздавать направо и налево...

А Вы "лекции об икосаэдре" Клейна не читали? Хорошая. Она как раз по теме

Вот она, потомственная культура, - не пропьёшь ;-) мгновенная и правильная реакция. С наступающими!!

Спасибо! И Вас тоже!

Не, не читал. Посмотрю, спасибо.

Галуа ещё в школе удивил своим возрастом и созданием теории групп за одну ночь.

Ночью перед смертью? Мне кажется все это какие-то байки.

Создавал он её, всё же, несколько дольше. Записал основные конструкции в ночь перед дуэлью.

авва, замечательное изложение у
dorrie heinrich 100 great problems of elementary mathematics
уверен Вам понравиться
алексеева изложение имеет все черты закидона : Москва великая культура, многое помимаем а киевского де Граве не читаем ... Хотя выучил по той книжке и замечательному Постникову зелененькому "теория Галыа"

С уважением,

Ваш жидобандеровец Игорь

не уверен, что такой рецепт полезен любому, но лично мне теория Галуа стала ясна в тот момент, когда я понял аналогию между ней и теорией накрытий. если после этого понять что такое взять фактор по действию конечной группы на поле, то утверждения теории Галуа становятся практически тавтологией.

Добрый день

Лучшее, что я видел:
http://arxiv.org/abs/0804.4357

Доказывается неразрешимость конкретных уравнений, а не общего.
Изумительная статья.

Спасибо, посмотрю.