Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

о тривиальном

(математическое)

Когда я пытаюсь понять какой-то математический материал, мне часто помогает прием, который можно назвать "подробный разбор тривиального примера".

Скажем, когда я старался уложить в голове ковариантные и контравариантные векторы, математический и физический взгляд на них, я подробно разобрал тривиальный пример в одном измерении, чтобы увидеть, что в какую сторону и как изменяется при смене базиса (даже написал об этом запись как-то).

Если бы я преподавал мат. анализ студентам, то наверное попросил бы их проработать правило сложной функции (chain rule) на тривиальном примере, что-то вроде g(x) = (3x)^2 в точке x=4. Преимущество тривиального примера в том, что можно параллельно просто раскрыть скобки, взять производную напрямую, и проверить, что результат сходится. Это сразу дает обратную связь изучающему: правильно ли понял все формулы и как их применять; если сошлось, то приятно, если не сошлось, то отлично, важная информация, вскрылось ключевое непонимание чего-то. Сравните это со статьей в википедии, где предлагается разбор примера g(x) = (3x^2-5x)^7.

Третий пример: сейчас я читаю учебник дифференциальной геометрии и разбираюсь в дифференциальных формах, внешних производных, теореме Стокса на многообразиях итд. Чтобы проверить, что я хорошо понимаю определение касательного пространства, 1-формы на нем, интеграла от n-формы итд., я проверяю себя на тривиальном примере - многообразии R^2, у которого в точке (0,0) я рассматриваю две карты в атласе: скажем, (x,y)->(2x,3y) и еще одна в таком же духе, но с другими коэффициентами. Это достаточно для того, чтобы сделать дифференциалы нетривиальными и показать мне, как меняются, скажем, компоненты дифференциальных форм или базисные векторы касательного пространства при переходе от карты к карте. Когда в учебнике написано, что интегрируют n-формы, а не гладкие функции на многообразии, потому что иначе интеграл менялся бы в зависимости от выбранной карты, я могу это сразу наглядно проверить в моем тривиальном примере, и это укрепляет понимание в голове.

Если бы я писал математические учебники, то постоянно бы в них использовал разборы тривиальных примеров. Меж тем, в тех учебниках, что я читал, мне такие разборы почти никогда не попадались, причем даже в учебниках, которые особенно хорошо с моей точки зрения объясняют какую-то тему. Можно придумать несколько объяснений их отсутствия:

1. Большинство читателей хорошо понимают материал и так, этот прием им просто не нужен.
2. У меня нетипично устроены мозги в том смысле, что подробный разбор тривиального примера помогает мне что-то понять, но большинству читателей он будет только мешать и раздражать своей тривиальностью.
3. Авторы книг не видят нужды в таком разборе, потому что недооценивают, насколько тяжело читателю привыкнуть и освоиться с новыми для него понятиями. Или им жаль тратить место в книге на подробный разбор тривиальностей и они предпочитают демонстрировать новые понятия и техники на чем-то более серьезном и нетривиальном.
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 45 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →