?

Log in

No account? Create an account
По делам сюда приплыл, а не за этим [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

четыре точки (математическое) [сент. 11, 2015|03:52 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Можно ли поставить три точки на плоскости так, чтобы все расстояния между ними были нечетными целыми числами?

Да. Это тривиально, можно просто поставить их в вершины равностороннего треугольника с длиной стороны 1.

А как насчет четыре точки на плоскости, и все расстояния между ними нечетные числа?

А вот тут оказывается, что это невозможно. Есть красивое простое доказательство того, что это невозможно, причем оно пользуется довольно неожиданно аппаратом линейной алгебры. Я помещу его ниже под катом для всех, кому интересно.





Если вам понравилось это доказательство, возможно, стоит посмотреть на статью, где это впервые было доказано:

Are There n+2 Points in E^n with Odd Integral Distances? (Graham, Rothschild, Straus, 1974)

Там с помощью чуть более тщательного анализа доказывается следующий удивительный факт: не только 4 точки на плоскости, но и 5 точек в пространстве невозможно расположить с попарными нечетными расстояниями, и вообще в n-мерном эвклидовом пространстве можно расположить так n+2 точки тогда и только тогда, когда n при делении на 16 дает остаток 14. То есть наименьший пример такого - это 16 точек в 14-мерном пространстве, и в статье дается конкретное построение этих 16 точек!
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: buddha239
2015-09-11 10:00 pm
Я тоже подумал об объемах симплексов - но рассмотреть остатки по модулю 8 не догадался (а если бы догадался, то все равно поленился бы:)).
(Ответить) (Parent) (Thread)