?

Log in

No account? Create an account
тождество якоби как голая аксиома (математическое) - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

тождество якоби как голая аксиома (математическое) [сент. 14, 2015|02:56 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

(если вас не интересует высшая математика или вы не читаете по-английски, вам вряд ли будет интересна эта запись)

Математики любят говорить о том, как правильно надо преподавать математику. Мне не раз попадались высказывания в духе того, что линейная алгебра и абстрактная алгебра преподаются студентам-математикам в наше время так, что получаются выхолощенными от своей сути наборами технических определений. Британский математик Майлз Рид пишет об этом так выразительно, что захотелось процитировать (прошу прощения за длинную цитату по-английски):

"...The problem is that the abstract point of view in teaching leads to isolation from the motivations and applications of the subject. For example, differential operators are typical examples of linear maps, used all over pure and applied math, but it is a safe bet that the linear algebra lecturer will not mention them: after all, logically speaking, differentiation is more complicated than an axiom about T(av + bu), and working with infinite dimensional vector spaces would clearly needlessly disconcert the students. In the same way, if the applied people want students to study coordinate geometry in R^3, let them set up their own course - the student who understands that the applied lecturer's R^3 is an example of the algebra lecturer's vector spaces will be at an unexpected advantage. Similar examples occur at every point of contact between algebra and other subjects; under the system of abstract axioms, the algebraist is never going to take responsibility for relating to the applications of his subject outside algebra.

No subject has suffered as badly from the insistence on the abstract treatment as group theory. When I was a first year undergraduate in Cambridge in 1966, it had been more or less settled, presumably after some debate, that the Sylow theorems for finite groups were too hard for Algebra IA; since then, the notion of quotient group, and subsequently the definitions of conjugacy and normal subgroup have been squeezed out as too difficult for the first year. Thus our algebraists have cut out most of the course, but stick to the dogma that a group is a set with a binary operation satisfying various axioms. Groups can be taught as symmetry groups (geometric transformation groups), and the abstract definition of group held back until the student knows enough examples and methods of calculation to motivate all the definitions, and to see the point of isomorphism of groups.

The schizophrenia between abstract groups and transformation groups comes to the surface in some amusing quirks - for example, the textbooks that define an "abstract group of operators", or the students (year after year) who insist that the binary operation GxG->G on a group should satisfy closure under (g1,g2) -> g1g2 as one of the group axioms. It seems to me that the abstract approach has weaknesses even within the framework of abstract algebra. In recent years, the Warwick 3rd year has featured a course on Lie algebras. I've no doubt that the course is extremely well given, but it's still possible to find students who get good grades, and know all the bookwork in the course, but who still don't know that nxn matrices over R with bracket [A, B] = AB - BA is an example of a Lie algebra, and R^n with Av = matrix times a vector an example of a representation or a module. The student who knows just this one example can make good sense of the entire course. Of course, given a chance, any self-respecting geometer, applied mathematician or physicist would insist on muddling things up by differentiating the group law at the origin, and explaining what happens to the associative law, etc. Is it conceivable that there are people about who introduce the Jacobi identity as a bald axiom?"
СсылкаОтветить

Comments:
From: (Anonymous)
2015-09-14 07:00 am
Я отчётливо помню, как в конце первого курса в нашей комнате зашел разговор про определители. Чисто случайно мы знали, что объём параллелепипеда это и есть определитель, но именно что случайно: об этом рассказал одному из нас его друг ещё до начала первого курса. Факт этот казался нам всем удивительным и непостижимым. И вот ближе к концу первого курса и материализовался у нас вопрос: а как же всё-таки так получается? Определителей к тому времени мы насчитали изрядное количество, правила, про то, что происходит с определителем если строчку умножить на число или если к одной строчке добавить другую, мы конечно же знали. И тут-то с удивлением обнаружили, что для нахождения обёма параллелепипеда больше ничего и не нужно! Дело было на физтехе в 90-м году.

У меня до сих пор остаётся впечатление, что связь между определителями и объёмами - это какая-то важная тайна, которую от студентов зачем-то тщательно скрывают. Время от времени даже возникает сомнение, может это я такой неравдивый был, прослушал, пропустил, прогулял, недопонял. Но ведь не я же один, четверо нас было, в том разговоре участвовавших, все с пятёрками по аналитической геометрии.

Другой пример с группами и подгруппами. Ну вот почему никто никогда не объясняет, что сопряжение - это означает "повернуть голову и посмотреть на группу с другой стороны"? Ок, у разных людей разный склад ума, но я не верю, что простейший пример с сопряженными подгруппами группы вращений куба, может кому-то навредить и кого-то запутать.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2015-09-14 07:11 am
Да, я согласен с вами. Мне тоже никто не рассказал про связь определитей с объемами, сам потом где-то прочитал и очень удивился.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: brandt1
2015-09-14 12:19 pm
Это странно. Ведь когда дают смешанное произведение 3 векторов в обычной векторной алгебре, то получается определитель на их координатах, а с другой стороны - ориентированный объем, и это, по-моему, всегда говорится.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2015-09-14 12:35 pm
Увы, это говорится не всегда, даже тогда, когда изучают смешанное произведение. Но и смешанное произведение изучают редко - это ж "малоинтересный частный случай" для трехмерного пр-ва.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: xaxam
2015-09-14 08:10 am
>>> Ну вот почему никто никогда не объясняет, что сопряжение - это означает "повернуть голову и посмотреть на группу с другой стороны"?

Да, это большая беда: соответственно, мало кто понимает, что "нормальная подгруппа" - это подгруппа, не зависящая от того, как мы перенумеруем элементы группы.

Как без этого понимания рассказывать про связь линейных операторов с матрицами? зависимость фундаментальной группы от выбора отмеченной точки?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: cousin_it
2015-09-14 09:32 am
Хм, вроде бы нормальная подгруппа должна быть инвариантна только относительно внутренних автоморфизмов (сопряжений). Если инвариантна относительно всех автоморфизмов, то называется "характеристическая подгруппа". Хотя м.б. я что-то не понял в Вашем объяснении.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: xgrbml
2015-09-14 03:40 pm
Все верно, но если студент поймет, что характеристическая подгруппа - это частный случай нормальной, это будет уже серьезный прорыв в понимании. И отдельно нужно вырабатывать интуицию на то, что такое сопряжение.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: revoltp
2015-09-15 09:39 pm
независимая от того, как мы назовем (а не перенумеруем). Так по-моему точнее.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: xaxam
2015-09-16 04:28 am
Ну да, конечно. Просто математики обычно называют элементы а-первое, а-второе, а-энное ;-)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: revoltp
2015-09-16 04:39 am
кстати, насколько помню, тождество Якоби алгебраически выражает геометрический факт. некоторое обобщение того, что перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: xaxam
2015-09-16 04:51 am
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: revoltp
2015-09-16 05:15 am
спасибо, очень кстати ссылка.
Я был уверен, что давным-известно. Кстати, конструкцию обобщенного треугольника (из прямых в пространстве, как по последней ссылке) я описываю в "эстетическая геометрия или теория симметрий".
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: brandt1
2015-09-14 12:23 pm
А вот тут нельзя ли поподробнее: "повернуть голову и посмотреть на группу с другой стороны"? Как это визуализировать? Что дает такая визуализация?
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2015-09-14 12:56 pm
Вот есть у нас куб, есть группа его вращений. Есть подгруппа вращений вокруг вертикальной оси: четыре поворота. А есть ещё подгруппа вращений вокруг одной из горизонтальных осей. Подгруппы, очевидно, разные: поворот на 90 вокруг вертикальной оси входит в первую из этих подгрупп, но не входит во вторую.

Но тем не менее подгруппы эти как-то очень сильно похожи! Человек, который смотрит на наш куб повернув голову набок может вообще их перепутать. В его системе отсчёта моя "вертикальная" ось горизонтальна и наоборот.

Подгруппы эти так похожи, потому что они сопряженные. Есть такой элемент x, что xA(x^-1) переводит подгруппу вращений вокруг вертикальной оси в подгруппу вращений вокруг горизонтальной. И этот элемент x - это как раз воответсвует переходу в другую систему отсчёта, "повороту головы".

Вспомните линейную алгебру. Есть у нас линейное преобразование, в нашем базисе оно описывается матрицей A. Как узнать, какой матрицей оно описывается в другом базисе? Берём матрицу X перехода между нашими базисами, перемножаем XA(X^-1) - это и есть то, что нам надо. Чтобы посмотреть на группу в другой системе координат ("повернуть голову") надо устроить такое вот сопряжение.

(Извиняюсь, если перепутал где писать "(^-1)" - забыл уже точное определение матрицы прехода.)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: brandt1
2015-09-15 07:14 am
Спасибо за объяснение. По-видимому, этот подход имеет методологическую ценность в плане преподавания.
(Ответить) (Parent) (Thread)