?

Log in

No account? Create an account
доказательство без вычислений - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

доказательство без вычислений [окт. 6, 2015|05:29 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Иррациональность квадратного корня из 2: геометрическое "доказательство без вычислений", придуманное Стэнли Тэнненбаумом в 60х:



Предположим, что есть два одинаковых квадрата с целой длиной сторон, так, что их площадь вместе равна площади большего квадрата с целой длиной сторон. Поместим эти два меньших квадрата в противоположные углы большего, как на картинке. Раз сумма их площадей равна площади большего, они должны пересекаться внутри него. Их пересечение - тоже квадрат, и области внутри большего квадрата, которые они не покрывают - еще два квадрата в двух других углах. Из-за того, что есть пересечение, два "непокрытых" квадрата размером меньше двух исходных. Поскольку площади исходных вместе дают площадь большого квадрата, сумма площадей "непокрытых" равна площади пересечения, т.е. "дважды покрытого". Однако длины сторон "непокрытых" и "дважды покрытого" выражаются вычитанием из исходных длин, поэтому они тоже целые, и притом меньше исходного примера. Значит, не существует минимального примера двух целых квадратов, в сумме дающих третий целый.
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
[User Picture]From: softmaster
2015-10-06 02:43 am
пропущено "возьмём наименьший квадрат с целой длиной стороны, делящийся на два целых квадрата"
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2015-10-06 02:46 am
Почему пропущено? Так, как вы предлагаете, это "возьмем минимальный контрпример, но вот есть еще меньше, противоречие". Так, как я написал, это "возьмем любой контрпример, есть еще меньше, значит, минимального быть не может (а следовательно и никакого)". Разница чисто стилистическая, по-моему.

(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: levtsn
2015-10-06 02:51 am
прикольно
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2015-10-06 03:03 am
>Раз сумма их площадей равна площади большего, они должны пересекаться внутри него.

По-моему, здесь спрятались вычисления. Не вижу, чем доказательство этого утверждения проще, чем классическое доказательство иррациональности sqrt(2). Вроде как даже посложнее :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2015-10-06 03:15 am
"Белые пятна", т.е. непокрытые ими области, обязаны быть, потому что например ни один из двух квадратов не может "дотянуться" до левого верхнего угла, и как минимум белое пятно 1x1 там остается. Но если нет пересечения, то сумма большого квадрата - это сумма двух плюс белых пятен, значит, не может быть равенства.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: myugor
2015-10-06 04:38 am
Изящно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: arish
2015-10-06 04:50 am
Симпатично. Но классическое геометрическое доказательство несоизмеримости единицы и корня из двух тоже ничего, и идея доказательства близкая. Есть, наверное, много где, но я в книге Радемахера и Теплица прочитала.

Edited at 2015-10-06 05:24 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: timur0
2015-10-06 07:36 am
Красиво!
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: nechaman
2015-10-06 07:48 am
Да, симпатично, для тех, кто хорошо воспринимает геометрию. Но некоторым она кажется менее наглядной. Свойство характера....
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: strangerdiary
2015-10-06 07:58 am
Не понял как из этого следует иррациональность.
В смысле, почему величины меньших квадратов не могут быть выражены дробями типа 3/4 или 5/7.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: green_fr
2015-10-06 08:55 am
Потому что их можно домножить на 28 и получить 21 и 20. А мы только что доказали, что целыми они быть не могут.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: utnapishti
2015-10-06 08:18 am
Замаскированное a/b=sqrt(2) => (2b-a)/(a-b)=sqrt(2) ;)

Да, красиво. Я люблю геометрический вариант "классического" доказательства ("если у квадрата и сторона и диагональ - целые числа, то то же самое верно для квадрата, диагональю которого является сторона исходного"), но там всё-таки нужно объяснить, почему диагональ исходного - чётное число.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: megaserg
2015-10-06 08:56 am

доказательство-шутка

Докажем, что корень n-й степени из 2 иррационален при n>2.

Пусть существуют a целое, b натуральное, такие что root(2, n) = a/b.
Возведём в n-ю степень: 2 = a^n / b^n.
Умножим на b^n: 2 * b^n = a^n.
То есть, b^n + b^n = a^n, что при n>2 неверно по великой теореме Ферма.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: poopoopastor
2015-10-06 09:01 am
Какая прелесть... Спасибо.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: israeltanin
2015-10-06 09:04 am
Красиво.
Есть много теорем, имеющих паралельное доказательство в геометрии и аналитически. Осталось доказать эквивалентность гильбертовой аксиоматики и декартова пространства. Без вычислений :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: rsokolov
2015-10-06 02:24 pm
Однако длины сторон "непокрытых" и "дважды покрытого" выражаются вычитанием из исходных длин, поэтому они тоже целые, и притом меньше исходного примера.

Вот это "поэтому" тут совершенно неочевидно.
(Ответить) (Thread)
From: ichthuss
2015-10-07 09:13 am
Что же неочевидного? Что результат вычитания целых чисел будет целым, или что он будет меньше исходных величин?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: kosovsky_family
2015-10-06 04:31 pm
Мне кажется, это надо воспринимать не как доказательство иррациональности корня из двух, а как доказательство несоизмеримости сторон квадратов по площади отличающихся в два раза (например катет и диагональ равнобедренного прямоугольного треугольника).
Я понимаю, что это точно то же самое, но зато вопрос, понятный и древним грекам :)
И кстати вопрос возникший в комментариях, как от рациональных чисел перейти к целым исчезает.
(Ответить) (Thread)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>