Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

доказательство без вычислений

Иррациональность квадратного корня из 2: геометрическое "доказательство без вычислений", придуманное Стэнли Тэнненбаумом в 60х:



Предположим, что есть два одинаковых квадрата с целой длиной сторон, так, что их площадь вместе равна площади большего квадрата с целой длиной сторон. Поместим эти два меньших квадрата в противоположные углы большего, как на картинке. Раз сумма их площадей равна площади большего, они должны пересекаться внутри него. Их пересечение - тоже квадрат, и области внутри большего квадрата, которые они не покрывают - еще два квадрата в двух других углах. Из-за того, что есть пересечение, два "непокрытых" квадрата размером меньше двух исходных. Поскольку площади исходных вместе дают площадь большого квадрата, сумма площадей "непокрытых" равна площади пересечения, т.е. "дважды покрытого". Однако длины сторон "непокрытых" и "дважды покрытого" выражаются вычитанием из исходных длин, поэтому они тоже целые, и притом меньше исходного примера. Значит, не существует минимального примера двух целых квадратов, в сумме дающих третий целый.
Tags: математика
Subscribe

  • r.i.p. steven weinberg (1933-2021)

    Стивен Вайнберг, один из величайших физиков уходящей эпохи. Когда-то запомнился мне интереснейшей книжкой "Первые три минуты" о зарождении…

  • вторая задача олимпиады

    Вторая задача Международной математической олимпиады в этом году оказалась одной из самых сложных - ее полностью решили всего 16 участников. Мне…

  • открытая запись

    Если хотите спросить меня или других посетителей о чем-то, предложить что-то, поговорить, поделиться итд. - это тут в комментах. Открытые записи…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 30 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →

  • r.i.p. steven weinberg (1933-2021)

    Стивен Вайнберг, один из величайших физиков уходящей эпохи. Когда-то запомнился мне интереснейшей книжкой "Первые три минуты" о зарождении…

  • вторая задача олимпиады

    Вторая задача Международной математической олимпиады в этом году оказалась одной из самых сложных - ее полностью решили всего 16 участников. Мне…

  • открытая запись

    Если хотите спросить меня или других посетителей о чем-то, предложить что-то, поговорить, поделиться итд. - это тут в комментах. Открытые записи…