пропущено "возьмём наименьший квадрат с целой длиной стороны, делящийся на два целых квадрата"

Почему пропущено? Так, как вы предлагаете, это "возьмем минимальный контрпример, но вот есть еще меньше, противоречие". Так, как я написал, это "возьмем любой контрпример, есть еще меньше, значит, минимального быть не может (а следовательно и никакого)". Разница чисто стилистическая, по-моему.

прикольно

>Раз сумма их площадей равна площади большего, они должны пересекаться внутри него.

По-моему, здесь спрятались вычисления. Не вижу, чем доказательство этого утверждения проще, чем классическое доказательство иррациональности sqrt(2). Вроде как даже посложнее :)

"Белые пятна", т.е. непокрытые ими области, обязаны быть, потому что например ни один из двух квадратов не может "дотянуться" до левого верхнего угла, и как минимум белое пятно 1x1 там остается. Но если нет пересечения, то сумма большого квадрата - это сумма двух плюс белых пятен, значит, не может быть равенства.

напомнило https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадрирование_квадрата

Изящно.

Симпатично. Но классическое геометрическое доказательство несоизмеримости единицы и корня из двух тоже ничего, и идея доказательства близкая. Есть, наверное, много где, но я в книге Радемахера и Теплица прочитала.

Edited at 2015-10-06 05:24 (UTC)

Красиво!

Да, симпатично, для тех, кто хорошо воспринимает геометрию. Но некоторым она кажется менее наглядной. Свойство характера....

Не понял как из этого следует иррациональность.
В смысле, почему величины меньших квадратов не могут быть выражены дробями типа 3/4 или 5/7.

Потому что их можно домножить на 28 и получить 21 и 20. А мы только что доказали, что целыми они быть не могут.

Замаскированное a/b=sqrt(2) => (2b-a)/(a-b)=sqrt(2) ;)

Да, красиво. Я люблю геометрический вариант "классического" доказательства ("если у квадрата и сторона и диагональ - целые числа, то то же самое верно для квадрата, диагональю которого является сторона исходного"), но там всё-таки нужно объяснить, почему диагональ исходного - чётное число.

Докажем, что корень n-й степени из 2 иррационален при n>2.

Пусть существуют a целое, b натуральное, такие что root(2, n) = a/b.
Возведём в n-ю степень: 2 = a^n / b^n.
Умножим на b^n: 2 * b^n = a^n.
То есть, b^n + b^n = a^n, что при n>2 неверно по великой теореме Ферма.

Какая прелесть... Спасибо.

Красиво.
Есть много теорем, имеющих паралельное доказательство в геометрии и аналитически. Осталось доказать эквивалентность гильбертовой аксиоматики и декартова пространства. Без вычислений :)

Однако длины сторон "непокрытых" и "дважды покрытого" выражаются вычитанием из исходных длин, поэтому они тоже целые, и притом меньше исходного примера.

Вот это "поэтому" тут совершенно неочевидно.

Что же неочевидного? Что результат вычитания целых чисел будет целым, или что он будет меньше исходных величин?

Мне кажется, это надо воспринимать не как доказательство иррациональности корня из двух, а как доказательство несоизмеримости сторон квадратов по площади отличающихся в два раза (например катет и диагональ равнобедренного прямоугольного треугольника).
Я понимаю, что это точно то же самое, но зато вопрос, понятный и древним грекам :)
И кстати вопрос возникший в комментариях, как от рациональных чисел перейти к целым исчезает.