?

Log in

No account? Create an account
физическое мышление и уравнения лагранжа - Поклонник деепричастий Page 2 [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

физическое мышление и уравнения лагранжа [апр. 19, 2016|10:42 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

(эта запись может быть интересна знающим физику и сочувствующим)

Физики думают как-то по-другому, и мне не удается проникнуть в этот загадочный мир.

Я пытаюсь немного лучше понять физику, начиная с классической механики, и начал читать (это уже вторая попытка) известный учебник Гольдштейна на английском языке. В таких случаях часто проявляется свойственный мне недостаток: излишняя дотошность и стремление понять каждый шаг и каждое утверждение. Обычно я наталкиваюсь на что-то непонятное близко к началу, и вместо того, чтобы плюнуть и пока что двигаться дальше, трачу кучу времени на бултыхание вокруг да около. Потому что упрямый, как осел. Даже смешно, как на этот раз тоже случилось по шаблону.

В первой же главе учебника сначала вкратце рассматриваются законы Ньютона, но потом автор быстро переходит к выводу из них формализма Лагранжа, точнее уравнений Эйлера-Лагранжа (я ниже приведу их форму). Вообще-то часто учебники механики, как я теперь знаю, не включают в себя этот вывод; вместо этого они начинают с вариацинного принципа наименьшего действия, как более фундаментального, и выводят уравнения Эйлера-Лагранжа из него. Так, например, в учебнике Ландау-Лифшица, и многих других. Но мне как раз понравилось, что Гольдштейн показывает эквивалентность этих двух подходов, и важные подробности - напр. то, куда деваются реакции связей и что нам дает право их игнорировать, записывая лагранжиан - понимаешь при этом куда лучше.

Если понимаешь вообще.

Потому что понять на том уровне, на котором мне хотелось, у меня все никак не получалось. Вместо того, чтобы плюнуть и читать дальше, я разозился и стал сравнивать описания этой конкретной темы в куче (под кучей я подразумеваю штук 20) разных учебников, задавать вопросы на форумах итд. Теперь, как мне кажется, я хорошо понимаю, как перейти от законов Ньютона и уравнениям Лагранжа, заодно перейдя в обобщенные координаты, совместимые с наложенными связями, и потеряв реакции связей. Но мне все равно остается непонятным мета-вопрос: почему нельзя было объяснить это понятнее? Напрашивается ответ: потому что физикам понятно именно так, как написано в их учебниках, потому что они думают по-другому; а мне, человеку с математическим складом мышления, нужно как-то стараться вписываться в то, как они думают. Но у меня не получается.

дальше следует техническое обсуждениеСвернуть )
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 2 из 3
<<[1] [2] [3] >>
[User Picture]From: chaource
2016-04-20 05:46 am
Все правильно. Физики вообще не думаютъ такъ, какъ математики. Въ традицiи физиковъ - "выводить" заранѣе извѣстные результаты съ помощью математически невѣрныхъ или некорректныхъ вычисленiй. Но никакой "глубины" въ такомъ мышленiи нѣтъ. Это просто традицiя плюсъ нехватка времени для проработки математическихъ деталей.

Есть также цѣлый рядъ физическихъ теорiй, гдѣ математическiя детали опредѣленiй нѣкоторыхъ основныхъ величинъ пока что неизвѣстны, и поэтому эти теорiи пока что вообще нельзя сформулировать строго. Къ этимъ теорiямъ относятся, какъ минимумъ, КТП и статистическая механика.

Многiе здѣсь написали, что "послѣ проработки 10 примѣровъ все стало понятно". Позволю себѣ не согласиться - я тоже прошелъ черезъ это. Не стало ничего понятно, но просто стало привычно, и затвердилось, что вотъ здѣсь мы при вычисленiяхъ дѣлаемъ так-то и получаются правильные результаты. Послѣ этого, если дѣлать такiя вычисленiя много лѣтъ, сами собою заднимъ числомъ придумываются какiя-то объясненiя, которыя на самомъ дѣлѣ не являются математически строгимъ пониманiемъ, но достаточно забалтываютъ совѣсть. Большинство учебниковъ по физикѣ представляютъ собой наполовину именно такiя псевдо-объясненiя, забалтывающiя студента. У студента возникаетъ устойчивый комплексъ - никакихъ вопросовъ не задавать, смирно сидѣть, всѣ задачи рѣшать.

Есть и другая сторона вопроса. Часто для настоящаго пониманiя того, почему можно "сократить точки", требуется болѣе абстрактная математика, чѣмъ для "забалтыванiя". Физики традицiонно избѣгаютъ абстрактной математики.

Вотъ еще нѣсколько вопросовъ, гдѣ въ физическихъ книгахъ вы не найдете толковыхъ объясненiй.

Неголономныя системы: что такое "энергiя ускоренiй" и какъ выводить уравненiя движенiя. (Этого, кстати, вообще нѣтъ у Ландау-Лифшица.)

Какова роль принципа Даламбера въ выводѣ уравненiй Лагранжа, и что это такое за таинственныя "виртуальныя перемѣщенiя".

Что такое статистическая энтропiя и почему она "растетъ съ большой вѣроятностью".

Изъ "Квантовой механики" Ландау-Лифшица невозможно вообще понять, что такое спинъ электрона и что такое "матрица плотности". Практически невозможно понять, что такое "S-матрица" въ квантовой теорiи разсѣянiя.

Почему уравненiе Дирака является Лоренцъ-инварiантнымъ, хотя содержитъ гамма-матрицы, составленныя изъ постоянныхъ чиселъ. (Т.е. почему гамма-матрица можетъ иметь лоренцевый индексъ. Вѣдь, напримѣръ, не можетъ быть лоренцеваго вектора, составленнаго изъ постоянныхъ чиселъ (1,1,1,1) - компоненты вектора обязаны преобразовываться по Лоренцу. )

Почему вообще можно использовать уравненiе Дирака для расчетовъ движенiя электрона въ атомѣ, какъ если бы оно являлось релятивистскимъ уравненiемъ Шредингера, когда оно явно не является таковымъ (т.к. оно не можетъ имѣть вѣроятностной интерпретацiи, которую бы имѣло уравненiе Шредингера съ релятивистскимъ гамильтонiаномъ).

Какъ работаетъ эффектъ Казимира.

Что такое "вторичное квантованiе" и почему вообще его можно дѣлать.

Что такое "перенормировка" въ КТП.

Edited at 2016-04-20 05:52 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2016-04-20 01:33 pm
Спасибо! Это очень интересный (и полезный, на будущее) список.

>Какова роль принципа Даламбера въ выводѣ уравненiй Лагранжа, и что это такое за таинственныя "виртуальныя перемѣщенiя".

Насчет этого я тоже уже убедился, что очень трудно с толковыми объяснениями, и такое впечатление, что все хотят сказать пару слов о "виртуальных перемещениях" и тут же забыть о них навсегда. Особенно непонятной оказалась для меня лично универсально используемая фраза "... перемещения, консистентные с наложенными связями", которую я наивно интерпретировал следующим неверным образом: что после сдвига координат на эти смещения они продолжают выполнять уравнения связей. Когда я собственно попытался проверить, что в простенькой задаче действительно выполняется принцип д'Аламбера и реакции связей можно игнорировать, я зашел в тупик. К счастью, вышел из него сам (и ответил на свой же вопрос).
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: xaxam
2016-04-20 06:07 am
Можно, конечно, изобретать велосипед и в каждом поколении лично выходить из Египта.

А можно прочесть про распределение Картана, гарантирующее, что "производная окажется скоростью", касательное и кокасательное расслоение и т.д.

Вот очень подробное и очень детальное изложение Годбийона: http://www.twirpx.com/file/1850132/

А короче и ярче всё описано у Арнольда, в "Математических методах классической механики". Но там много оставлено для самостоятельного додумывания. Собственно, ключевые для понимания лагранжевой и гамильтоновой механики понятия дифференциальных форм и внешней производной до сих пор рекомендуется учить по Арнольду.

Что же до "вывода" уравнений Лагранжа из уравнений Ньютона, то я не понял, в каком направлении этот вывод должен происходить. Уравнения Лагранжа - гораздо более общие, и то, что в "ньютоновых" задачах из принципа наименьшего действия следуют уравнения Ньютона, - это простое наблюдение. А в сложных случаях (голономных неавтономных, или вообще неголономных), где "силы" - непонятно что, именно лагранжево описание является первичным. И этот же подход действует в теории поля, - как только физик из каких-то соображения выписывает лагранжиан (ну, или его "плотность", если в дифференциальной форме), - считается, что задача определена.

Одна из причин психологических трудностей, как объяснял где-то сам Арнольд, - двусмысленность обозначения частных производных. Выражение \partial L/\partial x зависит не только от того, какая переменная обозначена буквой икс, но и от того, какая переменная обозначена (не написанной явно) буквой игрек.

Edited at 2016-04-20 07:25 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2016-04-20 09:11 am
Пришел математик и всех разогнал :)

Спасибо за ссылку на книгу, обязательно посмотрю (про распределение Картана ничего не знаю). Я собирался в принципе почитать изложение механики на нормальном уровне дифф. геометрии, но не сейчас, а после того, как (hopefully) пройду чисто физический учебник и немного приобрету физического понимания. Из тех, что я смотрел, мне понравились "Foundations of Mechanics" by Abraham & Marsden.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: cartesius
2016-04-20 06:19 am
Этот один из тех моментов, когда физик понимает, теоретик он (10%) или экспериментатор. Если в курсе теоретической физики студент сможет дотошно вывести все формулы и выводы и получить заслуженную пятерку у придирчивого преподавателя, то дорога ему в теоретики, однозначно.

А математики по определению все теоретики.)
(Ответить) (Thread)
From: p_a_s_h_a
2016-04-20 07:08 am
"Ох уж эти физики, Хофштадтера на них нет!" (сына):)
Интересно, кстати, как Хофштадтер-отец (экспериментатор, согласно Википедии) относился к таким "быстрым переходам"...
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: max_i_m
2016-04-20 07:58 am
>можем с ее помощью определять кинетическую энергию всей системы

По-моему в новых координатах кинетическая энергия запишется по-другому. Кинетическая энергия задает Риманову метрику на конфигурационном пространстве (или наоборот; см. "натуральная Лагранжева система", Арнольд, Мат Методы Механики, 4 Б). В стандартном 3N мерном пространстве Ньютоновой механики и метрика стандартная плоская (если масса каждой частицы 1, инче метрика в 3х направлениях связаных с этой частицей растягивается на корень из массы; это компенсируется записью энергии как (половины) "суммы квадратов помноженых на массы"). Если координаты обобщенные (а в случае с голономными ограничениями, то и вообще координаты на подмногообразии) то и метрика в них (соотв. ограничение метрики на подмногообразие) тоже запишется по-другому (см. примеры далее у Арнольда).
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: _glav_
2016-04-20 07:58 am
Странно, что никто ещё не ответил, так что попробую я.

Необходимо различать преобразования координат и движение тела.

Преобразования координат возникают, когда мы переходим из одной системы координат в другую, которая обычно движется относительно первой. Например, одна декартовая система координат поворачивается относительно другой декартовой системы координат. В математике обычно ограничиваются поворотом на заданный угол А, в то время как в физике такой поворот происходит непрерывно - с течением времени, так что угол А = А(t). В результате новые координаты зависят как от старых координат, так и от времени:
X = x*cos[A(t)] + y*sin[A(t)]
Y = -x*sin[A(t)] + y*cos[A(t)]
или
X = X(x, y, t)
Y = Y(x, y, t)

Движение тела существует независимо от преобразований системы координат, и оно происходит в любой системе координат.

Для того, чтобы описать движение тела надо
1) задать систему координат
2) задать закон движения тела в заданной системе координат.

Иногда возникает необходимость перевести уравнение движения тела из одной системы координат в другую систему координат. Это обычно обуславливается сображениями удобства. Например, равномерное движение тела по окруженности можно описать в декартовой системе координат как
X = R*cos(wt)
Y = R*sin(wt)
То же движение тела в полярной системе координат можно записать как
A = wt
что гораздо проще.


Уравнение

описывает преобразование координат, а не закон движения тела. Поскольку преобразования координат, вообще говоря, никак не связаны с законами движения, то рассуждения про то, что уравнения Ньютона (или Лагранжа) включают первые или вторые производные координат по времени, вообще говоря, иррелевантны. Закон преобразования координат выбираем мы сами (хотя это, обычно, и диктуется симметрией задачи), и обычно он имеет именно такой вид: ri = ri(q1, ..., qn, t). Очевидно, скоростей тут нет, как в примере с двумя декартовыми системами координат, одна из которых непрерывно вращается относительно другой.

В новой системе координат нам необходимо знать и скорости частиц, поскольку законы движения говорят нам, что это важно. Эти скорости обпределяются стандартным способом, через производную сложной функции:


Из Ваших рассуждений не совсем ясно, для чего именно понадобилось брать частную производную скорости по скорости. Но в любом случае, уравнение

вытекает естественным образом из предыдущих рассуждений. Достаточно вспомнить, что тут мы рассматриваем как связаны скорости тела в двух различных системах координат, которые движутся друг относительно друга по заданному закону. Это движение систем координат никак не обусловлено законами движения тела, поэтому нам нет необходимости думать о том, как именно скорость тела зависит от времени. Важно только то, как скорость тела в одной системе координат зависит от скорости тела в другой системе координат. А эта зависимость, очевидно, линейная, причём каждая компонента (старой) скорости является независимой переменной. Примерно так же, как при вращении декартовой системы координат обе (старые) координаты x и y являются независимыми переменными, наряду со временем t.

Рассуждения про то, что мы "как бы определяем" полную производную по времени тут неверны - мы не допускаем тут никакого волюнтаризма. А рассуждения про 2n+1-мерное фазовое пространство, кажется, нерелеванты.

Собственно, во всём этом нет какой-то особой "физической" логики. Достаточно понять, что для описания движения тела необходимо два элемента: система координат и закон движения, а не только закон движения.
(Ответить) (Thread)
From: dmpogo
2016-04-20 08:18 am
Физики действительно не думают как математики.

В частности, физики привычны к мысли что законы физики не выводятся, а формулируются. Поэтому даже когда речь идет не о новом законе, а другой формулировке, как с Лагранжевой механикой, у них не свербит в заду что ее надо вывести. Надо поискать физика который когда либо выводил уровнения Эйлера-Лагранжа для механической системы из уравненой Ньютона в общем виде. Подозреваю и Эйлер с Лагранжем этого не делали - они решили конкретную проблему, и на основании ее сформулировали общий принцип.

Установление детальных формальных связей между различными формулировками/теориями, в физике всегда послесловие, то что делается задним числом.
(Ответить) (Thread)
From: uleysky.blogspot.com
2016-04-20 08:33 am
Ну, это же просто, у нас есть преобразование координат, зависящее от времени r(q,t) (r и q - вектора, естественно). Время тут вообще, скорее параметр, нежели независимая переменная (с точки зрения физика). Мы получаем \dot r=\dot r(\dot q,t), то есть, преобразование скоростей в виде, аналогичном преобразованию координат. Ну а сокращение точек - это изящное выражение того, интуитивно понятного физику факта, что пропорциональность между скоростями, та же, что и между координатами, если понимаете, что я имею в виду. Математическая запись "сокращения точек" для физика не открытие, а просто математическая формулировка и так понятного факта, поэтому и не объясняет это никто, ибо не нужно просто.
(Ответить) (Thread)
From: uleysky.blogspot.com
2016-04-20 08:47 am
Скажу ещё проще. Насколько в одних координатах пройденный путь длиннее/короче, настолько же соответствующие скорости больше/меньше - ни один физик раздумывать над таким станет. А это всего лишь выражение "сокращения точек" на физическом языке.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: dmpogo
2016-04-20 09:29 am
Переходите к Гамильтоновой формулировке. Там уж момент и координата явно независимые величины, без всяких \dot q
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2016-04-20 01:35 pm
ага, обязательно перейду, вот дойду до нее в учебнике :)
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: (Anonymous)
2016-04-20 10:49 am
По поводу сокращения точек. На мой взгляд, принцип Д'Аламбера как раз и не отбрасывают, чтобы в голове было понимание виртуальных перемещений и физики. В рамках теормеха он позволяет получать более общие уравнения (см. неголономная механика, например), нежели вариационные принципы. Если такое понимание есть, то "фокус" с сокращением точек является только немного путающим выражением того, что вектор скорости dr/dt кривой, лежащей на поверхности вложенного в R^2N многообразия, задаваемого связями, раскладывается по базису в касательном пространстве к многообразию с коэффициентами dot{q}. Как известно, кто-то думает формулами, а кто-то картинками. Попробуйте пойти от принципа Д'Аламбера и подумать картинками, всё может стать проще.
(Ответить) (Thread)
From: dmpogo
2016-04-20 12:37 pm
На самом деле, и в физике и в математики, разбирающиеся в предмете, мыслят схоже, интуитивно, проскакивая 'очевидные' или 'несущественные' стадии. Концентрация на формальных шагах возникает при неуверенности в сути предмета, формализм - наша веревка для ходьбы по болоту когда мысли вязнут. И если ты в такой ситуации - кажется мистикой когда другие по тому же болоту бегут подскакияая.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2016-04-20 01:35 pm
Да, очень хорошо это понимаю. Но увы, поскольку сам не умею подскакивать, приходится вить веревки.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: yigal_c
2016-04-20 02:08 pm
Всё же хотелось бы лучше понять, дело ли тут в том,


а) что физики мыслят по-другому и книги написаны в традициях этого мышления
б) или же в том, что книги действительно написаны плохо даже для самих физиков, но они получают дополнительную информацию на семинарах и лекциях, которой в книгах нет (и, заодно, поэтому не замечают неудачности книг)
в) или же дело в чем-то третьем
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2016-04-20 04:24 pm
Я предвижу (кажется, все еще модно говорить "вангую"?), что не успею ответить на все комментарии к этой записи, которые того заслуживают. Я все очень внимательно прочитал и продумал, даже если не успел ответить. Хочу отдельно сказать огромное СПАСИБО всем умным и знающим людям, которые написали мне интересные слова и объяснения. Я успел забыть за время отсутствия в ЖЖ, как это здорово. Серьезно, большое спасибо.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2016-05-04 06:04 am

you are not alone

John von Neumann on Hamilton-Jacobi theory:
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them. Reply, according to Dr. Felix T. Smith of Stanford Research Institute, to a physicist friend who had said "I'm afraid I don't understand the method of characteristics,"

Burke book on Applied Diff Geometry: To all those who, like me, have wondered how in hell you can change dq/dt without changing q.

старий бандеровець засумував за аввою - мій батько захворів теж у ашдоді. мої співчуття і бажаю вашій мамі одужати Також check it out - how to understand your question via functional programming
https://www.youtube.com/watch?v=arMH5GjBwUQ

I hope readers of your blog are not going to blame me in russophobia (as ussual) because Sussman calls the russian mathematician Arnold names. I do not think Sussman is Ukrainian but who knows :),
Cordially, Igor.

(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: zlyuk
2016-04-25 02:35 pm
матаппарат для этой конструкции разработан в теории вариаций, типа Эйлер-Лагранж и т.п. (что нам как бы намекает что отцы физики тоже были при делах).
физикам это преподают на матметодах, на интуитивном уровне (в ТАУ это был третий курс матметодов, второй год), так что это не только их хвалёная интуиция.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: drzewo
2017-07-26 02:04 pm

литература

Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теоретическая механика
Арнольд Математические методы классической механики
(Ответить) (Thread)
Страница 2 из 3
<<[1] [2] [3] >>