Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

о доказательствах от противного

Константин Кноп пишет в фейсбуке:

...В чем "фишка" доказательств от противного и почему ими следует пользоваться как в обучении математике, так и в собственно математике? Этого почти никто толком не понимает, потому что в школе этого не объясняют, а потом умные люди уже не занимаются такими благоглупостями.

Пусть нам нужно доказать утверждение "A ⇒ B"... Когда вы _правильно_ используете метод доказательства от противного, то у вас есть не одно условие A, а два разных: A и ¬B (¬ означает "не"). И вот из двух условий вместе нужно всего лишь прийти к противоречию. Любому противоречию, не важно, в каком месте и с чем именно!

Понимаете? Раньше вам нужно было (непонятно, как именно) проложить ниточку рассуждений от того, которое было дано, к тому, которое надо было доказать. Это могла быть достаточно длинная ниточка, а вы держитесь за один конец клубка, и совершенно непонятно, как его разматывать, чтобы он вас привёл куда надо. А "противное" сразу позволяет опереться на два разных хвоста и мотать их совместно. Сплошь и рядом это оказывается удобнее и быстрее, потому что на двух опорах стоять проще, чем на одной. И главное - у вас нет цели нечто конкретное доказать, ваша цель намного проще: обнаружить противоречие.


Добавлю несколько соображений.

Десять лет назад я написал подробную запись (слишком подробную, на мой взгляд теперь, мог бы и покороче) о том, почему доказывать A ⇒ B и доказывать ¬B ⇒ ¬A - на практике разные вещи, хотя с строго логической точки зрения они эквивалентны. Сказанное там имеет отношение к вышепроцитированным словам про док-во от противного. Мы предпочитаем опираться на равенство и доказывать равенство, а не опираться на неравенство и доказывать неравенство, при прочих равных. Мы предпочитаем опираться на существование какого-то X и доказывать существование какого-то Y, а не опираться на "для всех X" и доказывать "для всех Y", при прочих равных. Эти предпочтения часто помогают нам выбратьм что доказывать: A ⇒ B или ¬B ⇒ ¬A. Доказательство от противного утверждения типа A ⇒ B будет особенно удобным, если и A, и ¬B получаются в удобной форме: существование и/или равенство. Тогда действительно легко и удобно будет "опереться на два разных хвоста и мотать их совместно".

Вместе с тем, у доказательств от противного на практике часто обнаруживаются следующие недостатки:

1. Нередко бывает, что доказательство оформлено как док-во от противного, но "на самом деле" не пользуется совместной силой предположений A и ¬B. Вместо этого происходит следующее (иногда это чуть замаскировано риторикой): предполагаем A и ¬B, потом доказываем ¬A, но не пользуемся совсем предположением A при этом, и наконец заключаем "противоречие" между A и ¬A. Легко видеть, что на самом деле это попросту косвенное доказательство ¬B ⇒ ¬A; оформление его в виде "противоречия" ничего не добавляет, а наоборот, может скрыть степень конструктивности док-ва.

2. Наоборот, когда и A и ¬B нетривиально используются в достижении противоречия, иногда выходит такая ситуация, что значительную часть док-ва проводишь за исследованием свойств объектов, про которые заранее знаешь, что они не существуют, и эти свойства внутренне противоречивы, просто ты еще не придумал, как это противоречие вывести на поверхность. Это немного странное и контрпродуктивное ощущение. Если доказываешь прямо A->B, то хотя бы в процессе док-ва можешь узнать что-то новое и интересное про вещи, которые реально "существуют". Промежуточные этапы в доказательстве от противного скорее окажутся ни к чему не годными, не добавляющими к знаниям и интуиции итд.
Tags: логика, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 36 comments