?

Log in

No account? Create an account
загадочная сложность теории чисел - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

загадочная сложность теории чисел [окт. 7, 2017|12:53 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

The enigmatic complexity of number theory

Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.

В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.

Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: thrasymedes
2017-10-07 10:17 am
У меня такая версия: теория чисел похожа на естественные науки, так как ее предмет - целые числа - не создан математиками, а "реально существует" . В то же время методы естественных наук применять нельзя.

(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: yoksel_moksel
2017-10-07 10:27 am
Существуют ли реально два одинаковых яблока? Нет. Одно больше другого.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: kuzh
2017-10-07 10:59 am
Да и яблок реально тоже нет.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: thrasymedes
2017-10-07 11:27 am
Достаточно того, что они оба яблоки
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: yoksel_moksel
2017-10-07 11:39 am
Но это тоже абстракция, как и сами числа. Мы называем два разных предмета одним словом, как будто они есть одно и то же. В таком случае можно говорить, что и числа реально существуют.
[Показываю пять спичек: это — число 5]
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2017-10-10 03:02 am
Вы пытаетесь убедить оппонента в том, что он сам только что сказал?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: n0_spam
2017-10-07 12:24 pm
А одинаковые электроны существуют. И одинаковые бозоны, если вам вдруг про различие статистик вспомнится.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2017-10-11 12:53 pm
с этого места поподробнее пожалуйста
что в этом утверждении "одинаковые электроны"?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: n0_spam
2017-10-11 04:53 pm
В каком утверждении?

Я отвечал на замечание о том, что числа - всего лишь абстракция, потому что, мол, когда мы перечисляем объекты, мы на самом деле пользуемся абстракцией, тем, что по какому-то признаку объединяем эти объекты, делаем их одинаковыми. А это как раз и есть построение модели, ибо "одинаковых яблок не существует".

Но электроны и атомы, например, принципиально одинаковы, неотличимы друг от друга. Поэтому наличие исчислимых объектов - это не абстракция, а реальность.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: webface
2017-10-07 10:54 am
Числа в природе не существуют :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: shultz_flory
2017-10-07 12:06 pm
Добавлю, что всё считающееся «доказательством» в естественных науках, с т.з. математики таковым не является.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: Sergei Baa
2017-10-07 12:26 pm
С другой стороны, математика не является наукой, так что тут все квиты.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2017-10-08 12:11 am
Вы написали какую-то откровенную хуйню, которая в отличие от математики точно к науке не имеет отношения.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: Sergei Baa
2017-10-10 01:01 am
Я не претендовал на научность.
Критерий научности - фальсифицируемость. Математика этому критерию не удовлетворяет.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: gul_kiev
2017-10-07 06:33 pm
Целых чисел в реальности нет, это абстракция, к одной из интерпретаций которой, впрочем, все привыкли.

А электрики при вычислении цепей привыкли индуктивные и ёмкостные сопротивления измерять комплексными числами. Значит, и комплексные числа "реально существуют"? Это даже если не затрагивать квантовую механику, где вообще всё на комплексных функциях строится.
Как насчёт реального существования неевклидовых геометрий и многомерных пространств? Особенно в ракурсе теории относительности и теории струн?

Отличить математическую абстракцию от физической не так уж сложно. Можно придумать виртуальную реальность (сон или компьютерную симуляцию) с произвольными законами, там "реально существовать" может всё совсем не так, как в нашем мире. Но математические законы не зависят от реальности, и в любом виртуальном мире дважды два всё равно будет четыре - это не зависит от окружающего нас мира. Никакой дефект масс или релятивистское сложение скоростей не может опровергнуть арифметику. С остальной математикой то же самое.

Edited at 2017-10-07 18:34 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)