?

Log in

No account? Create an account
загадочная сложность теории чисел - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

загадочная сложность теории чисел [окт. 7, 2017|12:53 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

The enigmatic complexity of number theory

Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.

В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.

Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: shultz_flory
2017-10-07 03:41 pm
Представления о пространстве, структурах в нем и их соотношении, как-то так. Арифметика и логика их, по-видимому, не используют. А в доказательства основной теоремы алгебры используют.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: yacpdb
2017-10-07 04:11 pm
Не арифметика и логика, а арифметика Пеано и логика первого порядка :)
Действительно, очень удобно, иногда, для иллюстрации математического доказательства использовать двумерные чертежи. На них можно очень просто показать неравенство треугольника и тому подобные штуки, не отвлекаясь от основного доказательства. И доказательство основной теоремы алгебры, которое вы имеете в виду, скорее всего, чертежи использует для простоты понимания студентами.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: shultz_flory
2017-10-07 04:48 pm
Скорее всего вы неправы. Но это легко проверить — продемонстрируйте доказательство о.т.а., не апеллирующее к пространственным образам.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: yacpdb
2017-10-07 05:06 pm
Это очень просто. Основная теорема алгебры (описка) это очевидное следствие из того что ограниченная по модулю комплекснозначная ф-я есть константа. Это следует из интегральной формулы Коши (определив ф-ю на границе, мы определяем ее везде внутри). Ну а эта штука доказывается средствами матананализа, безо всяких черьежей, см например википедию https://ru.wikipedia.org/wiki/Интегральная_формула_Коши

Edited at 2017-10-07 17:15 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: shultz_flory
2017-10-07 06:09 pm
Это следует из интегральной формулы Коши (определив ф-ю на границе, мы определяем ее везде внутри).
И далее из доказательства формулы Коши: «Рассмотрим окружность Sρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z0. В области, ограниченной контурами ...»

Ну вы поняли ;)

Edited at 2017-10-07 18:10 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: yacpdb
2017-10-08 04:04 am
Нет, не понял. Все эти термины имеют строгие теоретико-множественные определения, без привлечения геометрии.

Другой вопрос, если вы базовые понятия вроде метрического пространства причисляете к "пространственным образам", на основании того, что там используется слово "пространство" тогда да, с вами не поспоришь. Но это, как вы понимаете, уже не не имеет отношения к математике.

(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: shultz_flory
2017-10-08 09:17 am
Не, «пространство» необязательно относится к геометрии. Это просто множество с определенной структурой. А вот «строгие теоретико-множественные определения» в обсуждаемом случае переводят геометрические образы на язык алгебры.

Сравните например с доказательством бесконечности множества простых числе — и может быть поймете, где тут геометрия.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: oblomov_jerusal
2017-10-12 11:51 am
Существует алгебраическое доказательство осн. теоремы алгебры. Нужны 2 факта о вещественных числах: любое положительное число имеет квадратный корень и любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет вещественный корень. Дальше идет несколько простых выкладок и применение теории Галуа.
(Ответить) (Parent) (Thread)