?

Log in

No account? Create an account
загадочная сложность теории чисел - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

загадочная сложность теории чисел [окт. 7, 2017|12:53 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

The enigmatic complexity of number theory

Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.

В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.

Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: gul_kiev
2017-10-07 06:33 pm
Целых чисел в реальности нет, это абстракция, к одной из интерпретаций которой, впрочем, все привыкли.

А электрики при вычислении цепей привыкли индуктивные и ёмкостные сопротивления измерять комплексными числами. Значит, и комплексные числа "реально существуют"? Это даже если не затрагивать квантовую механику, где вообще всё на комплексных функциях строится.
Как насчёт реального существования неевклидовых геометрий и многомерных пространств? Особенно в ракурсе теории относительности и теории струн?

Отличить математическую абстракцию от физической не так уж сложно. Можно придумать виртуальную реальность (сон или компьютерную симуляцию) с произвольными законами, там "реально существовать" может всё совсем не так, как в нашем мире. Но математические законы не зависят от реальности, и в любом виртуальном мире дважды два всё равно будет четыре - это не зависит от окружающего нас мира. Никакой дефект масс или релятивистское сложение скоростей не может опровергнуть арифметику. С остальной математикой то же самое.

Edited at 2017-10-07 18:34 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)