?

Log in

No account? Create an account
загадочная сложность теории чисел - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

загадочная сложность теории чисел [окт. 7, 2017|12:53 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

The enigmatic complexity of number theory

Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.

В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.

Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
СсылкаОтветить

Comments:
From: (Anonymous)
2017-10-13 03:25 am
P.S. Вы ссылаетесь на книжку Карлис Подниекс "Вокруг теоремы Геделя" 2013 года издания. Цитируемый фрагмент там в предисловии. И дальше он жульнически отрицает объективную природу математики на том основании, что она зависит-де от аксиом!

Однако, переходя к решению методологических вопросов, уже
нельзя давать волю платонистским привычкам (полагая, что несмотря на неразрешимость проблемы близнецов "для нас, людей", их количество "объективно" является либо конечным, либо бесконечным). Это означает допускать существование мира идей (мира чисел), не зависящего от аксиом, используемых в рассуждениях математиков.


(жульничество автора здесь в том, что он "не замечает": математические объекты, в том числе числа, существовали ещё до всяких аксиом - и не в каком-то платоновском "мире идей", а в практической, объективной деятельности человеческого общества; все математические аксиомы поэтому не произвольны, а вытекают из объективного человеческого опыта; отрицать объективность математических объектов - всё равно что отрицать объективность жизни или смерти Наполеона на том якобы "основании", что Наполеон был создан, рождён своими родителями и что даже имя Наполеону дали люди "а в природе никакого Наполеона нет")

К счастью, у книжки Подниекса есть ещё советское издание 1981 года - https://dspace.lu.lv/dspace/handle/7/1466
И в этом издании такого пассажа с отрицанием существования абсолютной истины - нет!
(Ответить) (Parent) (Thread)