Нету пруфов, к сожалению, но припоминаю некого монаха, который волевым решением закрепил 7 нот, и кажется, это и со спектром совпадало, ну и со святыми книгами

Я просмотрел FAQ сабреддита, но не совсем понял, почему Вы пишете, что (3/2)^12 \approx 2^7 "не главный фактор". А какой главный? Там изложение историческое и начинается с того, что было 7 нот, и если к ним добавлять полутона, то удобно добавить именно 5. Но удобно-то ведь именно потому, что (3/2)^12 \approx 2^7. Или Вы имеете в виду, что самое главное, что сначала было 7? Семь было потому, что (3/2)^7 \approx 2^4, если я правильно понимаю. Т.е. утверждается, что это приблизительное равенство "главнее" предыдущего?

Я думаю, вернее сказать, что нет одного самого главного фактора, но есть сложное сочетание многих факторов, и из них 3^12 не самый важный. Какие важнее или примерно равны по важности? Во-первых, само желание добавлять ноты к 7 имеющимся не является само собой разумеющимся, и исторически обосновано растущим пониманием важности вводного тона, а также растущей необходимостью транспонировать на разные ступени. Во-вторых, если мы уж решили добавлять, то пожалуй, что энгармонизм важнее, чем 3^12. Если бы не энгармонизм и желание сделать C#=Db итд., то вполне возможно, что мы бы остановились на 19-тоновой шкале: у нее и погрешность меньше (3^19/2^30 < 3^12/2^19), и весьма удобные вводные тоны "облепляют" каждую ноту.

Я всегда считал подлостью, что 3^4 не равно 5*2^4. А ещё 3^5 могло бы быть равно 2^8. Ну, или, хотя бы, 3^7 и 2^11. Насколько было бы легче этим музыкантам, если бы всё это было равно.

В фотоаппаратах долгое время уменьшали пиксели на октаву каждые три такта: в 1.25 раз, потом ещё в 1.25 раз, а потом в 1.28 раз. Ну, приблизительно. Эти самые два процента дисгармонии причиняли много неудобств. А всё потому, что корень третьей степени из двух подлым образом не равен точно 5/4. Или, что то же самое, 2^10 не равно 10^3. Фотоаппаратчикам бы очень помогло, если бы это было равно. Неужели математики не могли подогнать получше, когда придумывали натуральные числа? Почему вообще мы столько времени должны считаться с их недальновидными решениями?

:)))

Смотрел такое кино http://tinyurl.com/y8ej22oz ?
Довольно забавное, дяденька с кафедры матанализа со скрипочкой, мне понравилось. Наверное можно где-то купить или украсть, ну или могу поделиться.

(трейлер впрочем идиотский, само кино лучше чем можно подумать посмотрев трейлер)

В "Библиотечке математического кружка" была книжка Шилова "Устройство музыкальной шкалы". Там и про 17-тонный рояль было написано.

17-тонный рояль вызывает массу ассоциаций ))

Увы, объяснения и комментарии выше имеют мало отношения к реальности. Не то чтобы они совсем неверные, но о самом важном обстоятельстве не упоминает странным образом никто. Я напишу кратко, а если нужно будет пояснить -- поясню.

Необходимость темперации (введения поправок к вычисленной каким-то, неважно каким, образом "правильной" высоте звука) сама по себе возникает довольно поздно, в середине 16 века. Связана она с укреплением тональной организации музыки -- это когда ладовая функция каждого звука определяется в отношении к главному звуку звукоряда, тонике. Подчеркну -- в более ранние времена в музыке этого нет совсем или очень мало, музыка устроена совсем иначе. Нарочно приведу очень яркий пример (русское строчное многоголосие 16 века) https://www.optina.ru/audio/spb_1/06_Track.mp3. Не правда ли, "найти тонику" или "подобрать гармонию" в таком напеве чрезвычайно сложно? Несмотря на то, что наш современный музыкальный слух постоянно пытается уловить в мелодии привычные тяготения и мысленно подставить возможные типовые гармонические обороты, по отношению к знаменному распеву тональный принцип и соответствующая гармония являются абсолютно чужеродными элементами, которые никто из распевщиков в 16 веке ни при каких обстоятельствах вообразить себе не мог. Да и сами интервалы звучат непривычным образом, записать услышанное "как диктант" непросто даже человеку с музыкальным образованием.

В тональной системе те же самые звуки начинают восприниматься уже в другой логике,, с другими соотношениями между собой (хотя частоты будут те же самые). И вот тогда-то, не сразу, а постепенно, в наибольшей степени -- когда в практику входит "прогулка" по разным тональностям, возникает желание подстроить инструмент так, чтобы все тональности звучали пусть немного фальшиво, зато одинаково фальшиво. Первый известный пример равномерной темперации то ли придумал, то ли просто первым им воспользовался француз Гийом Котле во второй половине 16 века, и у него в октаве было 19 звуков (у этой темперации до сих пор есть фанаты, по ключевому слову 19TET на ютубе можно найти довольно много произведений -- гитару с таким строем сделать не сложнее, чем обычную). Впоследствии много разных темпераций перепробовали, победила двенадцатитоновая равномерная -- но могла бы и не победить, если бы развитие музыки пошло по другому пути.

Это очень важное обстоятельство, да. Спасибо за разъяснение.

Кроме упомянутой выше брошюры Г.Е. Шилова, можно вспомнить книгу А. Волконского "Основы темперации" (текст есть в сети, но не pdf). Компьютерное пианино (клавиатура, MIDI вход, Cubase, виртуальные инструменты) настраивается в любой старинной темперации. Я когда-то этим увлекался, но, честно говоря, чтобы действительно чувствовать разницу, нужен слух струнника, а не любителя.

53-ступенная равномерная темперация (53-EDO) намного лучше аппроксимирует квинту, кварту и терции, чем 12-ступенная. Но, видимо, для человека возможности такого клавишного инструмента избыточны.

Был еще любопытный ролик на канале 3Blue1Brown.

Edited at 2018-03-17 20:23 (UTC)

Вообще самое интересное, с точки зрения математики, в этом вопросе - это соотношение логарифмической и линейной шкал. Дело в том, что слух (как и все другие органы чувств) логарифмирует воспринимаемый раздражитель. Т.е. если громкость звука растет по экспоненте то для слушателя она растет линейно.
Для частотного восприятия это не так. Частота растет линейно для слушателя она растет линейно.
Нотный стан - линейное деление частотного ряда.
Квинта, кварта и т.д. - логарифмическое деление нотного ряда.
Понятно добиться точного совпадения рядов невозможно, что вызывает сложности создания струнных инструментов с ладами и клавишных инструментов. Как следствие появляется равномерно темперированный ряд. Где нет точных промежутков (нот, кварт и т.д.) но появляются полутона.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Равномерно_темперированный_строй

Edited at 2018-03-18 06:03 (UTC)

> Частота растет линейно для слушателя она растет линейно.

> Нотный стан - линейное деление частотного ряда.

Эти два утверждения совершенно непонятно на чем основаны.

12 и 7 - основания систем счисления, которые использовались с глубокой древности. В чём и состоит главная причина использования именно этих чисел.
Другое дело, почему именно 12 и 7 стали основаниями систем счисления. Для этого были более глубокие причины, не только чисто математические.

Древние греки смотрят на данное утверждение с легким недоумением.