?

Log in

No account? Create an account
о математике музыкального строя - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о математике музыкального строя [мар. 16, 2018|11:38 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|, ]

В комментариях к прошлой открытой записи была небольшая дискуссия о музыкальной теории, почему семь нот в гамме, почему 12 полутонов в октаве, такого рода вещи. Мне эта тема кажется одновременно очень интересной и очень плохо объясняемой в книгах, курсах, образовательных видео по музыкальной теории. Это в общем легко оправдать: это сложная тема, и она тесно связана с историй музыки, не имеющей прямого отношения даже к большей части классической музыки, не говоря уж о популярной. Людей нужно учить интервалам, тональностям и аккордам, и эти темы можно понять и выучить без понимания того, откуда это все взялось и почему именно так. Но мне это всегда хотелось лучше понять.

В этой записи я хочу порекомендовать два прекрасных текста на тему музыкального строя, т.е. "как устроен набор нот". Во-первых, ЖЖ-юзер rainy_sunny написал с полгода назад два исключительно полезных и ясно написанных поста на эту тему:

Математика музыкального строя — основы.

Математика музыкального строя — приложение.

Он проиллюстрировал их многочисленными youtube-клипами, которые демонстрируют разницу между интервалами и строями, диаграммами, таблицами, итд. Для чтения его записи полезно все-таки знать, какие есть ноты и что такое "терция" или "квинта", но если у вас есть эти начальные знания, я очень, очень рекомендую его записи. Мне не встречался по-русски более доступный и обстоятельный обзор этой темы.

Вместе с тем его обзор фокусируется на том, как нам распределить 12 звуков внутри октавы, коль мы уже решили, что октава состоит из 12 полутонов. Он почти не затрагивает того, как именно традиция западной музыки пришла к этому решению, и почему оно оказалось столь удобным. И тут я отдельно очень советую оказавшийся для меня неожиданно интересным и информативным FAQ сабреддита по музыкальной теории (только по-английски, увы):

Why Are There 12 Notes?

(спойлер: известный многим факт про степень тройки, близкую к степени двойки, играет роль в этом объяснении, но отнюдь не единственный и даже не главный фактор).

Вместе эти два ресурса дадут вам хорошее представление о том, как это устроено и почему так сложилось. Несомненно, можно углубляться дальше (и я потихоньку штудирую потрясающе интересную толстенную "Кэмбриджскую историю теории западной музыки"), но это хорошее основание, намного лучшее, чем 99% информации в популярных книгах/сайтах/статьях о музыке.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: sspr
2018-03-16 10:21 pm
Нету пруфов, к сожалению, но припоминаю некого монаха, который волевым решением закрепил 7 нот, и кажется, это и со спектром совпадало, ну и со святыми книгами
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kobak
2018-03-16 10:37 pm
Я просмотрел FAQ сабреддита, но не совсем понял, почему Вы пишете, что (3/2)^12 \approx 2^7 "не главный фактор". А какой главный? Там изложение историческое и начинается с того, что было 7 нот, и если к ним добавлять полутона, то удобно добавить именно 5. Но удобно-то ведь именно потому, что (3/2)^12 \approx 2^7. Или Вы имеете в виду, что самое главное, что сначала было 7? Семь было потому, что (3/2)^7 \approx 2^4, если я правильно понимаю. Т.е. утверждается, что это приблизительное равенство "главнее" предыдущего?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-03-16 11:34 pm
Я думаю, вернее сказать, что нет одного самого главного фактора, но есть сложное сочетание многих факторов, и из них 3^12 не самый важный. Какие важнее или примерно равны по важности? Во-первых, само желание добавлять ноты к 7 имеющимся не является само собой разумеющимся, и исторически обосновано растущим пониманием важности вводного тона, а также растущей необходимостью транспонировать на разные ступени. Во-вторых, если мы уж решили добавлять, то пожалуй, что энгармонизм важнее, чем 3^12. Если бы не энгармонизм и желание сделать C#=Db итд., то вполне возможно, что мы бы остановились на 19-тоновой шкале: у нее и погрешность меньше (3^19/2^30 < 3^12/2^19), и весьма удобные вводные тоны "облепляют" каждую ноту.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: i_eron
2018-03-16 11:53 pm
Я всегда считал подлостью, что 3^4 не равно 5*2^4. А ещё 3^5 могло бы быть равно 2^8. Ну, или, хотя бы, 3^7 и 2^11. Насколько было бы легче этим музыкантам, если бы всё это было равно.

В фотоаппаратах долгое время уменьшали пиксели на октаву каждые три такта: в 1.25 раз, потом ещё в 1.25 раз, а потом в 1.28 раз. Ну, приблизительно. Эти самые два процента дисгармонии причиняли много неудобств. А всё потому, что корень третьей степени из двух подлым образом не равен точно 5/4. Или, что то же самое, 2^10 не равно 10^3. Фотоаппаратчикам бы очень помогло, если бы это было равно. Неужели математики не могли подогнать получше, когда придумывали натуральные числа? Почему вообще мы столько времени должны считаться с их недальновидными решениями?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: amigofriend
2018-03-17 01:59 am
:)))
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ilya_dogolazky
2018-03-17 05:15 am
Смотрел такое кино http://tinyurl.com/y8ej22oz ?
Довольно забавное, дяденька с кафедры матанализа со скрипочкой, мне понравилось. Наверное можно где-то купить или украсть, ну или могу поделиться.

(трейлер впрочем идиотский, само кино лучше чем можно подумать посмотрев трейлер)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: xaxam
2018-03-17 06:44 am
В "Библиотечке математического кружка" была книжка Шилова "Устройство музыкальной шкалы". Там и про 17-тонный рояль было написано.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: f137
2018-03-17 07:56 pm
17-тонный рояль вызывает массу ассоциаций ))
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: kstoor
2018-03-17 07:32 am
Увы, объяснения и комментарии выше имеют мало отношения к реальности. Не то чтобы они совсем неверные, но о самом важном обстоятельстве не упоминает странным образом никто. Я напишу кратко, а если нужно будет пояснить -- поясню.

Необходимость темперации (введения поправок к вычисленной каким-то, неважно каким, образом "правильной" высоте звука) сама по себе возникает довольно поздно, в середине 16 века. Связана она с укреплением тональной организации музыки -- это когда ладовая функция каждого звука определяется в отношении к главному звуку звукоряда, тонике. Подчеркну -- в более ранние времена в музыке этого нет совсем или очень мало, музыка устроена совсем иначе. Нарочно приведу очень яркий пример (русское строчное многоголосие 16 века) https://www.optina.ru/audio/spb_1/06_Track.mp3. Не правда ли, "найти тонику" или "подобрать гармонию" в таком напеве чрезвычайно сложно? Несмотря на то, что наш современный музыкальный слух постоянно пытается уловить в мелодии привычные тяготения и мысленно подставить возможные типовые гармонические обороты, по отношению к знаменному распеву тональный принцип и соответствующая гармония являются абсолютно чужеродными элементами, которые никто из распевщиков в 16 веке ни при каких обстоятельствах вообразить себе не мог. Да и сами интервалы звучат непривычным образом, записать услышанное "как диктант" непросто даже человеку с музыкальным образованием.

В тональной системе те же самые звуки начинают восприниматься уже в другой логике,, с другими соотношениями между собой (хотя частоты будут те же самые). И вот тогда-то, не сразу, а постепенно, в наибольшей степени -- когда в практику входит "прогулка" по разным тональностям, возникает желание подстроить инструмент так, чтобы все тональности звучали пусть немного фальшиво, зато одинаково фальшиво. Первый известный пример равномерной темперации то ли придумал, то ли просто первым им воспользовался француз Гийом Котле во второй половине 16 века, и у него в октаве было 19 звуков (у этой темперации до сих пор есть фанаты, по ключевому слову 19TET на ютубе можно найти довольно много произведений -- гитару с таким строем сделать не сложнее, чем обычную). Впоследствии много разных темпераций перепробовали, победила двенадцатитоновая равномерная -- но могла бы и не победить, если бы развитие музыки пошло по другому пути.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-03-17 11:36 am
Это очень важное обстоятельство, да. Спасибо за разъяснение.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: vsvor
2018-03-17 08:17 pm
Кроме упомянутой выше брошюры Г.Е. Шилова, можно вспомнить книгу А. Волконского "Основы темперации" (текст есть в сети, но не pdf). Компьютерное пианино (клавиатура, MIDI вход, Cubase, виртуальные инструменты) настраивается в любой старинной темперации. Я когда-то этим увлекался, но, честно говоря, чтобы действительно чувствовать разницу, нужен слух струнника, а не любителя.

53-ступенная равномерная темперация (53-EDO) намного лучше аппроксимирует квинту, кварту и терции, чем 12-ступенная. Но, видимо, для человека возможности такого клавишного инструмента избыточны.

Был еще любопытный ролик на канале 3Blue1Brown.

Edited at 2018-03-17 20:23 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ural_mia
2018-03-18 05:54 am
Вообще самое интересное, с точки зрения математики, в этом вопросе - это соотношение логарифмической и линейной шкал. Дело в том, что слух (как и все другие органы чувств) логарифмирует воспринимаемый раздражитель. Т.е. если громкость звука растет по экспоненте то для слушателя она растет линейно.
Для частотного восприятия это не так. Частота растет линейно для слушателя она растет линейно.
Нотный стан - линейное деление частотного ряда.
Квинта, кварта и т.д. - логарифмическое деление нотного ряда.
Понятно добиться точного совпадения рядов невозможно, что вызывает сложности создания струнных инструментов с ладами и клавишных инструментов. Как следствие появляется равномерно темперированный ряд. Где нет точных промежутков (нот, кварт и т.д.) но появляются полутона.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Равномерно_темперированный_строй

Edited at 2018-03-18 06:03 (UTC)
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-03-18 07:34 am
> Частота растет линейно для слушателя она растет линейно.

> Нотный стан - линейное деление частотного ряда.

Эти два утверждения совершенно непонятно на чем основаны.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: matholimp
2018-03-19 06:49 am
12 и 7 - основания систем счисления, которые использовались с глубокой древности. В чём и состоит главная причина использования именно этих чисел.
Другое дело, почему именно 12 и 7 стали основаниями систем счисления. Для этого были более глубокие причины, не только чисто математические.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-03-19 07:23 am
Древние греки смотрят на данное утверждение с легким недоумением.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)