?

Log in

No account? Create an account
По делам сюда приплыл, а не за этим [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о лейбнице и простых числах [мар. 25, 2018|10:26 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Я обнаружил курьезный факт, который не очень широко известен, кажется:

В 1678-м году французский академический журнал Journal des sçavans (стр. 75) опубликовал письмо Лейбница редактору журнала, в котором Лейбниц рассказывает о новом свойстве простых чисел, которое он открыл: все простые числа больше 5 обязательно либо на 1, либо на 5 больше числа, кратного шестерке. Иными словами, любое простое число больше 5 можно записать в форме 6n+1 либо 6n+5 для какого-то n. Иными словами, при делении на 6 оно обязательно дает остаток 1 или 5.

Скан оригинала по-французски; не уверен, что есть перевод на другие языки, но в любом случае там написано ровно то, что выше, ничего больше интересного нет:


Вкратце объяснение, что здесь курьезного (математики среди читателей это уже поняли, у них фейспалм сейчас). Простые числа - те, которые не делятся ни на какие другие, кроме 1 и самих себя. Любое число при делении на 6 дает один из остатков 0,1,2,3,4,5. Но если оно дает остаток 0, 2 или 4, то оно делится на 2, то есть не простое (кроме самой двойки). Если дает остаток 3, то делится на 3, опять не простое. Остаются остатки 1 и 5, так что неудивительно, что любое простое число больше 5 должно давать один из этих остатков. Это совершенно тривиальный результат, не заслуживающий статьи в журнале (да, даже в 1678-м году). Странно и любопытно, что Лейбниц, который примерно в те годы открыл интегральное исчисление (параллельно с Ньютоном) и делал другие серьезные открытия в математике, не заметил этой тривиальности и описал этот факт как интересное и многообещающее открытие.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: akor168
2018-03-25 09:34 am
то совершенно тривиальный результат, не заслуживающий статьи в журнале (да, даже в 1678-м году).

Очень спорное утверждение.
Зададимся двумя вопросами - даже тривиальное утверждение кто-то должен записать и описать.

Второй - насколько сам метод подсчета остатков НЕТРИВИАЛЕН. Если это первое его изложение, то тем более надо было его проиллюстрировать. Заметим, современные дети этот метод сами НЕ изобретают. Его надо специально им рассказывать, и те, кому рассказали, получают большое преимущество на олимпиадных задачках на делимость.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-03-25 09:45 am
Но в статье нет метода подсчета остатков. Там чистое утверждение, типа "я заметил, что простые числа устроены вот так: от любого из них можно отнять 1 или 5 и получить кратное шестерки".

И все-таки это через 13 лет после смерти Ферма.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: akor168
2018-03-25 09:51 am
То есть сам Лейбниц даже не знал метода получается. А он хоть доказал утверждаемый факт?

И очень возможно, что единственный человек в то время, для которого это было тривиально(или даже единственный который вообще мог это строго доказать) был Пьер Ферма, который еще и умер к тому времени.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-03-25 10:02 am
По его письму трудно понять, доказал или нет, тогда было обычным делом посылать утверждения без доказательств. Мне кажется более вероятным, что "заметил", а не "доказал".

Как указали выше, пять лет спустя Лейбниц доказал малую теорему Ферма (по крайней мере так считается - это в неопубликованных при жизни бумагах и впервые всплыло в начале 20-го века, мне интересно было бы посмотреть на само док-во, и я пока не нашел его публикации), что было действительно серьезным для того времени результатом.

Вполне возможно, что это действительно были его первые шаги с простыми числами, и аргумент с остатками был бы для него вполне тривиальным, просто он его не заметил. А через пять лет, возможно, он сам фейспалмился на эту тему.

Где-то я видел упоминание о том, что это "открытие" очень часто повторяют математики-дилетанты. Представьте себе, вы смотрите на список простых чисел и пытаетесь всеми силами обнаружить какие-то регулярности. И вдруг замечаете, что они всегда рядом с кратными шестерки, либо меньше на 1, либо больше. Разве не замечательный факт, на первый взгляд?

Edited at 2018-03-25 10:03 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: akor168
2018-03-25 10:13 am
Забавно, но по гамбургскому счету ВСЕ тогдашние математики и были дилетантами. Новую науку начинают двигать именно они, ибо профессионалов или людей с опытом просто физически нет. И лишь потом мы, потомки, оцениваем их достижения на конец жизни и они бывают очень впечатляющими.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: akor168
2018-03-25 10:04 am
Впрочем доказывать там конечно нечего, делители у чисел вида 6n,6n+2,6n+3, 6n+4 очевидны без всяких методов. Хотя, отмечу, что мы не замечаем таких мелочей, что сама идея записывать числа как 6n+r нетривиальна.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-03-26 06:53 pm
Да, возможно.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: nikname
2018-03-26 05:51 pm
Это реально тривиально. Когда мне потребовалось какое-то количество последовательных простых чисел я просто подумал, сначала решил, что надо перебирать все нечётные, а потом сообразил, что только 6n+-1. Подумать немного пришлось, поскольку это была ещё 8-ми битная машина.
(Ответить) (Parent) (Thread)