?

Log in

No account? Create an account
По делам сюда приплыл, а не за этим [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о лейбнице и простых числах [мар. 25, 2018|10:26 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Я обнаружил курьезный факт, который не очень широко известен, кажется:

В 1678-м году французский академический журнал Journal des sçavans (стр. 75) опубликовал письмо Лейбница редактору журнала, в котором Лейбниц рассказывает о новом свойстве простых чисел, которое он открыл: все простые числа больше 5 обязательно либо на 1, либо на 5 больше числа, кратного шестерке. Иными словами, любое простое число больше 5 можно записать в форме 6n+1 либо 6n+5 для какого-то n. Иными словами, при делении на 6 оно обязательно дает остаток 1 или 5.

Скан оригинала по-французски; не уверен, что есть перевод на другие языки, но в любом случае там написано ровно то, что выше, ничего больше интересного нет:


Вкратце объяснение, что здесь курьезного (математики среди читателей это уже поняли, у них фейспалм сейчас). Простые числа - те, которые не делятся ни на какие другие, кроме 1 и самих себя. Любое число при делении на 6 дает один из остатков 0,1,2,3,4,5. Но если оно дает остаток 0, 2 или 4, то оно делится на 2, то есть не простое (кроме самой двойки). Если дает остаток 3, то делится на 3, опять не простое. Остаются остатки 1 и 5, так что неудивительно, что любое простое число больше 5 должно давать один из этих остатков. Это совершенно тривиальный результат, не заслуживающий статьи в журнале (да, даже в 1678-м году). Странно и любопытно, что Лейбниц, который примерно в те годы открыл интегральное исчисление (параллельно с Ньютоном) и делал другие серьезные открытия в математике, не заметил этой тривиальности и описал этот факт как интересное и многообещающее открытие.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: utnapishti
2018-03-25 11:31 am
А как ты это обнаружил? Читал себе Journal des sçavans за 1678 год - и вдруг?..
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-03-25 11:55 am
Именно так, да :)

Я прочитал блог-запись о том, что происходит, если у любого числа суммировать квадраты цифр, потом повторить: приходим либо к 1, либо к небольшому циклу, начинающемуся на 4:
https://www.johndcook.com/blog/2018/03/24/squared-digit-sum/

Там была ссылка на статью со строгим док-вом этого факта, статья 1945 года:
https://oeis.org/A003621/a003621.pdf

На последней странице статьи есть небольшой текст об этом письме Лейбница, по-видимому никак не связанный с самой статьей, а просто курьезный факт, который включили в журнал 1945 года, и попало на одну страницу с концом статьи. Мне это показалось очень интересным, и я начал искать подтверждения; номер страницы не был указан, и даже название было написано с опечаткой. Быстро нашел текст журнала за 1678 год (только один выпуск), но листать все 454 страницы не хотелось, и в оглавлении в конце имя Лейбница не нашел. Поиск дополнительных сведений об этой публикации Лейбница занял довольно долгое время и убедил меня в том, что это довольно-таки малоизвестный факт, но в конце-концов в какой-то французской публикации о теории чисел в 17-м веке, хоть там тоже не обсуждали специально это письмо, в библиографии нашлась ссылка с точным номером страницы...

Edited at 2018-03-25 11:56 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-03-25 12:55 pm
Тут возникает вопрос, а в чём полезность/нетривиальность этого факта и заслуживает ли он статьи, даже в 1945 году? Очевидно же, что итерация суммы любых степеней цифр числа ведёт себя так же: приводит к одному из конечного набора циклов. Для степени 1 будет один цикл длины 1. Почему важно, что для степени 2 будет два цикла с длинами 1 и 8? Гораздо интереснее было бы описать структуру таких циклов для всех степеней.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-03-25 01:24 pm
Не знаю, что вам сказать - я в общем согласен, что математически это не выглядит особо интересной теоремой, хоть я и не математик.
(Ответить) (Parent) (Thread)