Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

задача про углы

Когда мне было 13 или 14 лет, я должен был поехать на республиканскую олимпиаду по математике, и всех участников делегации от моей области послали на сборы. Мы встречались каждый день на протяжении недели-двух, не помню точно, в школе, где тренировались на сборниках олимпиадных задач под присмотром нескольких учителей. Я почти все забыл об этом времени, кроме одного очень яркого образа: геометр, старенький и сгорбленный, имени которого я не помню. Он говорил медленно, двигался медленно, чертил четко и уверенно, казался мне невероятно древним, дореволюционным. Задачи на построение, на доказательство, на нахождение каких-то точек - все падали под двумя-тремя уверенными штрихами мелом.

Я не понимал, как это происходит, и спорил с другими учениками. Может, он просто помнит все решения задач, что приносит? Мы решили проверить его и принесли на очередной урок несколько своих задач, которые не смогли сами решить (из какого-то учебника или сборника). Один из нас рисовал на доске очередную задачу, он смотрел на нее, казалось, секунду или две, подходил своей медленной птичьей походкой, брал мел и говорил: вот здесь проводим окружность... строим треугольник... продлеваем линию... через полминуты задача оказывалась очевидной. Это была какая-то магия. Не помню ни одной задачи, не помню лиц, помню ощущение. Восхищение, смешанное с досадой от того, что сам так не могу.

Вот задача в таком духе, над которой я посидел как следует в последние дни и все-таки не решил (ну, тригонометрическое решение нашел, но это не считается). Спасибо Константину Кнопу, который помог мне с ней разобраться.

Из чертежа должно быть все понятно - даны углы, и надо найти угол x. На случай, если плохо видно - угол ACB биссектриса делит на две половинки по 13° каждая, угол CAD=30°, BAD=73°. Если хотите решать самостоятельно, не читайте дальше после чертежа - я объясняю ниже решение.



Решение:



На первый взгляд может показаться, что нужно просто рассчитать углы во всех вершинах, исходя из суммы углов в треугольнике (180°); но если попробуете, ничего не выйдет.

Далее, можно найти тригонометрическое решение с помощью калькулятора. Я сделал это следующим путем (есть более прямые, см. например тригонометрическую теорему Чевы): отношение длин сторон AC и BC известно из теоремы синусов как отношение синусов противоположных им углов. С другой стороны, если опустить из точки D перпендикуляры на AC и BC длиной a (одинаковой, т.к. CD биссектриса) и написать выражения тангенсов углов образующихся прямоугольных треугольников, то можно опять получить отношение длин AC/BC, из которого исчезает a, и остается tan(x) в качестве неизвестного.

Теперь к геометрическому решению. Продолжим сторону CA до точки E, так, чтобы CE=CB, и мы получим большой равнобедренный треугольник, в котором биссектриса CD становится также высотой. Отсюда легко вычислить углы в его основаниях (77°), а также угол EAB, равный - какое интересное совпадение - тоже 77°, так что оказывается, что треугольник EAB тоже равнобедренный, и BE=BA:



Теперь получается интересная штука. Треугольник EBD на самом деле равносторонний, а не просто равнобедренный (то, что он равнобедренный, т.е. ED=BD, очевидно). Если мы это докажем, то задача решена: угол при основании большого равнобедренного треугольника EBC равен 77°, минус угол равностороннего треугольника 60°, остается искомое x=17°, ну и все остальные углы на рисунке легко заполнить. Но доказать это напрямую из рисунка кажется не таким простым делом, по крайней мере я не нашел, как. Вместо этого мы используем следующий трюк.

Забудем на секунду про точки A и D, и представим, что у нас есть только большой равнобедренный треугольник EBC. Начиная с этого треугольника, проведем окружность с центром B и радиусом BE, и отметим, где эта окружность пересекается с стороной EC треугольника и его высотой. Назовем эти точки A' и D', это такой толстый намек:



Точка D' лежит на биссектрисе равнобедренного треугольника, и поэтому ED'=BD'. С другой стороны, точки E и D' лежат на окружности, поэтому BE=BD'. Вместе получаем, что треугольник BED' равносторонний, и угол EBD' равен 60°. Тогда "внешний" угол, дополняющий его, равен 360°-60° = 300°. Этот внешний угол является "центральным углом" для хорды ED'. А угол EA'D' является "вписанным углом" для той же хорды, и по теореме о вписанном угле равен ровно половине центрального угла, т.е. 300°/2 = 150°. Наконец, угол CA'D', дополняющий только что названный угол до прямой, равен 180°-150°=30°.

Теперь, когда мы вычислили все эти углы, сравним этот рисунок с предыдущим. Точка A, как и точка A', лежит на отрезке CE, и одновременно на окружности с центром B и радиусом BE (потому что BE=BA). Поэтому A совпадает с A'. Но теперь угол CA'D'=CAD' равен 30° по только что сделанному построению, а угол CAD равен 30° из условий задачи. Значит, точки D и D' тоже совпадают. Но это значит, что треугольник EBD совпадает с треугольником EBD' и действительно является равносторонним. А из этого, как уже сказано выше, легко получаем все углы:



Эта запись посвящается старенькому геометру, имени которого я не знаю, который показал мне, что такое магия в Житомире 1989 или 1990 года.
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 48 comments