?

Log in

No account? Create an account
задача про углы - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

задача про углы [апр. 20, 2018|08:08 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Когда мне было 13 или 14 лет, я должен был поехать на республиканскую олимпиаду по математике, и всех участников делегации от моей области послали на сборы. Мы встречались каждый день на протяжении недели-двух, не помню точно, в школе, где тренировались на сборниках олимпиадных задач под присмотром нескольких учителей. Я почти все забыл об этом времени, кроме одного очень яркого образа: геометр, старенький и сгорбленный, имени которого я не помню. Он говорил медленно, двигался медленно, чертил четко и уверенно, казался мне невероятно древним, дореволюционным. Задачи на построение, на доказательство, на нахождение каких-то точек - все падали под двумя-тремя уверенными штрихами мелом.

Я не понимал, как это происходит, и спорил с другими учениками. Может, он просто помнит все решения задач, что приносит? Мы решили проверить его и принесли на очередной урок несколько своих задач, которые не смогли сами решить (из какого-то учебника или сборника). Один из нас рисовал на доске очередную задачу, он смотрел на нее, казалось, секунду или две, подходил своей медленной птичьей походкой, брал мел и говорил: вот здесь проводим окружность... строим треугольник... продлеваем линию... через полминуты задача оказывалась очевидной. Это была какая-то магия. Не помню ни одной задачи, не помню лиц, помню ощущение. Восхищение, смешанное с досадой от того, что сам так не могу.

Вот задача в таком духе, над которой я посидел как следует в последние дни и все-таки не решил (ну, тригонометрическое решение нашел, но это не считается). Спасибо Константину Кнопу, который помог мне с ней разобраться.

Из чертежа должно быть все понятно - даны углы, и надо найти угол x. На случай, если плохо видно - угол ACB биссектриса делит на две половинки по 13° каждая, угол CAD=30°, BAD=73°. Если хотите решать самостоятельно, не читайте дальше после чертежа - я объясняю ниже решение.



Решение:



На первый взгляд может показаться, что нужно просто рассчитать углы во всех вершинах, исходя из суммы углов в треугольнике (180°); но если попробуете, ничего не выйдет.

Далее, можно найти тригонометрическое решение с помощью калькулятора. Я сделал это следующим путем (есть более прямые, см. например тригонометрическую теорему Чевы): отношение длин сторон AC и BC известно из теоремы синусов как отношение синусов противоположных им углов. С другой стороны, если опустить из точки D перпендикуляры на AC и BC длиной a (одинаковой, т.к. CD биссектриса) и написать выражения тангенсов углов образующихся прямоугольных треугольников, то можно опять получить отношение длин AC/BC, из которого исчезает a, и остается tan(x) в качестве неизвестного.

Теперь к геометрическому решению. Продолжим сторону CA до точки E, так, чтобы CE=CB, и мы получим большой равнобедренный треугольник, в котором биссектриса CD становится также высотой. Отсюда легко вычислить углы в его основаниях (77°), а также угол EAB, равный - какое интересное совпадение - тоже 77°, так что оказывается, что треугольник EAB тоже равнобедренный, и BE=BA:



Теперь получается интересная штука. Треугольник EBD на самом деле равносторонний, а не просто равнобедренный (то, что он равнобедренный, т.е. ED=BD, очевидно). Если мы это докажем, то задача решена: угол при основании большого равнобедренного треугольника EBC равен 77°, минус угол равностороннего треугольника 60°, остается искомое x=17°, ну и все остальные углы на рисунке легко заполнить. Но доказать это напрямую из рисунка кажется не таким простым делом, по крайней мере я не нашел, как. Вместо этого мы используем следующий трюк.

Забудем на секунду про точки A и D, и представим, что у нас есть только большой равнобедренный треугольник EBC. Начиная с этого треугольника, проведем окружность с центром B и радиусом BE, и отметим, где эта окружность пересекается с стороной EC треугольника и его высотой. Назовем эти точки A' и D', это такой толстый намек:



Точка D' лежит на биссектрисе равнобедренного треугольника, и поэтому ED'=BD'. С другой стороны, точки E и D' лежат на окружности, поэтому BE=BD'. Вместе получаем, что треугольник BED' равносторонний, и угол EBD' равен 60°. Тогда "внешний" угол, дополняющий его, равен 360°-60° = 300°. Этот внешний угол является "центральным углом" для хорды ED'. А угол EA'D' является "вписанным углом" для той же хорды, и по теореме о вписанном угле равен ровно половине центрального угла, т.е. 300°/2 = 150°. Наконец, угол CA'D', дополняющий только что названный угол до прямой, равен 180°-150°=30°.

Теперь, когда мы вычислили все эти углы, сравним этот рисунок с предыдущим. Точка A, как и точка A', лежит на отрезке CE, и одновременно на окружности с центром B и радиусом BE (потому что BE=BA). Поэтому A совпадает с A'. Но теперь угол CA'D'=CAD' равен 30° по только что сделанному построению, а угол CAD равен 30° из условий задачи. Значит, точки D и D' тоже совпадают. Но это значит, что треугольник EBD совпадает с треугольником EBD' и действительно является равносторонним. А из этого, как уже сказано выше, легко получаем все углы:



Эта запись посвящается старенькому геометру, имени которого я не знаю, который показал мне, что такое магия в Житомире 1989 или 1990 года.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: Илья Цыгвинцев
2018-04-20 05:26 pm
Красиво.

(тег гиперссылки не закрыт)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-04-20 05:28 pm
Спасибо, как раз исправил, да.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: Сирёга Каряныч
2018-04-20 05:35 pm
То о чем вы говорите - называется высокий пространственный интеллект. В отличие от вашего - вербального.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: torash
2018-04-20 05:55 pm
Спасибо. Вы напомнили мне моего геометра. Кстати, помню его имя - Игорь Константинович Жук. Он работал в Стекловке, но в какой-то момент жизни переехал в наш город в Беларуси и пришел в нашу школу вести геометрию. Маленький, щупленький и выкуривал пачку Астры за два урока (спецшкола, сдвоенная математика). Мы его сначала жутко терпеть не могли, и воротили нос - пах он ужасно. А потом я его полюбила. До сих пор помню, как он показывал именно такую красоту - вписать треугольники в окружности, дополнить что-нибудь, дорисовать. Я не любила и не понимала геометрию, но с ним начала ее чувствовать. Еще он немного развлекался с нами тем, что рассказывал про теорию вероятностей. Я до сих пор лекцию про теорию вероятностей начинаю с задачи про дни рождения. 20 лет прошло. Приехал он, видимо, к нам уже серьезно больным. Умер через год-два после того, как я закончила школу. Думаю, что мне страшно повезло познакомиться с ним и увидеть красоту хорошей математики.
Кстати, про разный ум соглашусь с предыдущим комментатором. Мне, когда подрабатывала репетиторством, ученик попался - сначала совсем слабенький, потом разогнался и к последнему классу школы обнаружилось, что в задачках по геометрии я вижу, например, 4 решения задачи, а он видит пятое. Какое-то особенно хитрое. Архитектором стал.
А я социологом, потому что не математик, так, с краешку ходила. Но любила.

Edited at 2018-04-20 17:56 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-04-20 08:17 pm
Спасибо. Вы хорошо очень написали.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: abuela_ama
2018-04-20 05:59 pm
спасибо)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: vmenshov
2018-04-20 06:10 pm
ну а может просто решить систему уравнений?

70 + 30 + 13 + 13 + x + b = 180
30 + 13 + d1 = 180
x + 13 + d2 = 180
b + d3 + 73 = 180
d1 + d2 + d3 = 360
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: livelight
2018-04-20 06:28 pm
Засунул в онлайн-решалку. Говорит, несовместимая у вас система уравнений
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: (Anonymous)
2018-04-20 06:30 pm
Вот куда более простое, хотя и не изящное решение, которое сразу приходит в голову, если заметить, что длины BA и BD подозрительно схожи.

Возьмем треугольник ABC с углами 103, 51 и 26 градусов. Проведем AD под углом 30 градусов к AC и BD под углом 17 градусов к BC. Тогда угол DBA равен 34 градусам, следовательно треугольник BAD равнобедренный, и в нем медиана из вершины B совпадает с высотой и биссектрисой. Пусть H - середина стороны AD, E - основание перпендикуляра из D на AC, F - основание перпендикуляра из D на BC.

(1) DE=DH, так как угол DAC равен 30 градусам.

(2) DH=DF, так как углы HBD и DBC равны 17 градусам.

(3) Следовательно, DE=DF, а значит точка D лежит на биссектрисе угла ACB, и исходные данные задачи восстановлены.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-04-20 06:56 pm
Спасибо, красиво! Если уже знать ответ, это более быстрое док-во, действительно.

Любопытно, как здесь по-другому, но так же неизбежно используется "специальный" характер угла в 30 градусов; очевидно, геометрического решения для общих углов не существует, так что любое решение должно как-то эти 30гр. задействовать.

Edited at 2018-04-20 18:57 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: livelight
2018-04-20 06:35 pm
А в чём вы эти чертежи рисуете?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-04-20 06:49 pm
https://www.geogebra.org/

Полезная штука, но довольно глючная в интерфейсе, много раз ее ругал, пока рисовал.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: i_am_a_jew_01
2018-04-20 07:20 pm
После того как нарисована окружность, видно, что треугольник BED' равносторонний. Отсюда следует, что искомый угол равен 17 градусов.

На самом деле, очень красивая задача. Наличие биссектрисы указывает на то, что при решении должна быть использована симметрия. Для этого треугольник необходимо преобразовать в равнобедренный. Это можно сделать двумя путями. Но для окончательного чисто геометрического решения равнобедренного треугольника мало, не известны углы при основании. Тогда на помощь приходит концепция равносторонних треугольников. И это позволяет решить задачу.

Edited at 2018-04-20 21:33 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: levtsn
2018-04-20 07:47 pm

Алгебра отстой численные методы рулят

(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: biogalkin
2018-04-20 08:40 pm
4 неизвестных и 4 треугольника
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-20 09:08 pm
Одно неизвестное - искомый угол.

Остальные неизвестные углы тривиально выражаются через искомый.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: i_am_a_jew_01
2018-04-20 09:37 pm
После того как нарисована окружность, видно, что треугольник BED' равносторонний. Отсюда следует, что искомый угол равен 17 градусов.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dmitrmax
2018-04-20 10:18 pm
В грузинской школе:
Учитель: - Гиви, выйди к доске и нарисуй равнобэдренный трэуголник!

Гиви выходит и рисует.

Учитель: - А тэперь докажи, что этот трэуголник равнобэдренный!
Гиви: - Мамой клянус!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: geish_a
2018-04-21 02:50 am
Мне всегда геометрия нравилась больше прочей математики.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-04-21 08:33 pm
А мне всегда меньше :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: sun_do
2018-04-21 10:14 am

Это  дар встретить такого человека!

(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-21 07:19 pm
Всегда бесили эти олимпиадные задачи, вступительные задачи. Вся эта вступительная схема раздражала. Тригонометрические уравнения, логарифмы, планиметрия, стереометрия, еще какая-то тухлятина. Берешь тригонометрические функции, там лапша из синусов, котангенсов, это все преобразуешь стопятьюдестью формулами, что-то вроде восхождения по лестнице на руках: тяжело, эффектно и нахрен не надо.

Тысячу лет строили циркулем и линейкой, эффектно размышляли, бились на ровном месте, миллион потрясающих теорем. Потом пришли координаты, векторы и все вынесли. Осталась теорема пифагора и системы уравнений.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-21 07:22 pm
И потом уже в университете изучаешь один за другим натуральные математические катки. ТФКП, функциональный анализ, теория групп. Думаешь, что вот тут не зря люди ломали головы, было зачем.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: chva
2018-04-21 07:19 pm
Мне такие задачи вообще очень тяжело даются, но (помня, что задача олимпиадная и должно быть красиво) я сразу подумал, что BAD равнобедренный (на глаз очень похоже), отсюда угол находится элементарно. Инженерный подход — я бы ещё измерил стороны линейкой, да нет под рукой.
(Ответить) (Thread)