?

Log in

No account? Create an account
немного мат. юмора - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

немного мат. юмора [апр. 29, 2018|11:39 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

(эта запись может быть интересна математикам и сочувствующим)

1. Группы, у которых операция некоммутативна, называются белевы группы (belian groups).

2. Если вы подзабыли доказательство фундаментальной теоремы арифметики (разложение на простые множители), то это очень просто. Пусть дано положительное целое число n, посмотрим на конечную группу Z/(n). Поскольку она конечна, у нее есть композиционный ряд 1 <= G_1 <=... <= G. Его фактор-группы простые и абелевы, поэтому должны иметь простые порядки, а это дает нам разбитие n = |G| на простые множители. Если есть два таких разбития, то они порождают два композиционных ряда 1 <= G_1 <=... <= G, 1 <= H_1 <=... <= G, и по теореме Жордана-Гёльдера их длины равны и фактор-группы изоморфны, что как раз и значит, что набор простых множителей одинаков с точностью до перестановок.

Это док-во приводится в частности в "Алгебре" Бурбаки (спасибо french_man).

3. В том же духе, что предыдущий пункт, следующая жемчужина. Нужно доказать, что в конечном кольце с единицей любой элемент либо делитель нуля, либо обратимый.

Доказательство (предложено всерьез Питом Кларком):

Свойство "каждый элемент либо делитель нуля, либо обратимый" сохраняется при прямом произведении колец с таким свойством (если хоть одна из координат элемента произведения делитель нуля, то элемент тоже делитель нуля, если нет, то он обратим). Конечное кольцо является артиновым, а любое артиново кольцо - конечное произведение локальных артиновых колец. Ввиду вышеуказанного, задача сводится к док-ву свойства для локального артинового кольца. В любом артиновом кольце радикал Джекобсона нильпотентен, а раз кольцо локально, то его максимальный идеал, состоящий из всех необратимых элементов, нильпотентен. Значит, есть n, так что произведение n любых необратимых элементов равно 0, и в частности каждый необратимый элемент - делитель нуля.

Элементарный аргумент: элемент a не делитель нуля iff x->ax инъекция. Элемент a обратим iff x->ax суръекция.
В конечном кольце суръективность и инъективность x->ax эквивалентны.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: Владимир Крупский
2018-04-29 09:06 pm
Вроде буквы русские, а не понятно
(Ответить) (Thread)
From: technocrator
2018-04-29 10:32 pm
А тут и не обязательно всё понимать :)
Общий смысл одним словом - "ректальная тонзиллэктомия"
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: pharmazevt
2018-04-29 10:40 pm
Трансректальная.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: occuserpens
2018-04-29 09:24 pm
[Группы, у которых операция некоммутативна, называются белевы группы (belian groups).]

Скорее уже елевы, а не какие-то белевы :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dzz
2018-04-29 09:52 pm
противоположность а-белевых же :)))
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 04:22 am
Латинская приставка, обозначающая противоположность (точнее, удаление от) -- "ab-", а "a-" - лишь ее краткая форма, которая вроде должна употребляться только перед p и v. (Есть еще греческая an-, но она здесь вообще не катит).

Есть множество приставок "а-", но они означают совсем другое - awake, abide, ascend и т.д...
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 05:40 am
Почему это греческая приставка не катит? Что с ней не так? Ан- она, кажется, только перед гласными, а основная форма а-. Наоборот, латинская не катит совсем, значение не подходит.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 06:54 am
Что-то не соображу примеры придумать, где она (греческая) а-, подскажете несколько?
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 09:46 am
Атипичный, асимметричный, аморальный (=immoral, потому что когнат латинской приставки in-), алогичный (ditto), атеист, тысячи их.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-29 09:24 pm
Ну раз в Бурбаках, то формально (2) все-таки корректное доказательство? Я в математике не силен, но у меня ощущение, что где-нибудь в утверждении "его фактор-группы простые и абелевы, поэтому должны иметь простые порядки" она неявно используется, нет?
(Ответить) (Thread)
From: posic
2018-04-29 09:57 pm
Используется (приблизительно) существование разложения на простые множители, что есть сравнительно совсем несложное утверждение. Речь же идет о том, как доказать единственность -- в этом состоит нетривиальная часть основной теоремы арифметики.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-04-29 10:43 pm
Да, корректное доказательство. Если у абелевой группы непростой порядок n, то у нее есть нетривиальная подгруппа (и следовательно нормальная, и поэтому группа непростая): возьмем любой ненулевой элемент x, если его порядок меньше n, то он порождает нетривиальную подгруппу, если ровно n, то группа циклическая, и при n=ab порядок элемента a*x, т.е. x+x+...+x а раз, равен b, и этот элемент порождает нетривиальную подгруппу.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rwalk
2018-04-29 09:39 pm
Не Джордана, а Жордана
(Ответить) (Thread)
From: posic
2018-04-29 09:51 pm
Да. Жордан, https://en.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan -- француз.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-04-29 10:33 pm
Спасибо!
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: lithovore
2018-04-30 08:20 am
И, кстати, "сюръекция".
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: pharmazevt
2018-04-29 10:43 pm
Круче, чем фуга на тему Cdecdc .
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 05:29 am
Разбиения.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: livelight
2018-04-30 06:39 am
Я так понимаю, шутка - про то, что простое доказывается через сложное. Но у меня есть сильное подозрение, что это сложное само было доказано через то простое.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 06:59 am
Выше пишут уже, что нет. У меня то же подозрение было, но авторитет Бурбаки выше моих подозрений. :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: livelight
2018-04-30 08:51 pm
Насколько я понял, Бурбаки эти всегда думали так, как avva приводит в виде шутки :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 10:31 pm
Разумеется, но для них было бы странно привести формально неверное доказательство (неверное в том плане, что опирается на доказываемые факты). Ну и опять таки, авва со товарищи подтверждают, что оно формально верно, так что не вижу о чем дискуссия.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: xgrbml
2018-04-30 08:49 am
В русском переводе "Алгебры" такого док-ва нет. Правда, он с довольно старого издания (и мудрые советские редакторы умудрились е указать с какого именно).
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: e2pii1
2018-04-30 10:48 am
> Это док-во приводится в частности в "Алгебре" Бурбаки

Правительно ругал Арнольд стиль французской математики...

(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 12:51 pm
Для полноты не хватает элементарного док-ва основной теоремы арифметики.
(Ответить) (Thread)
From: xarf
2018-04-30 01:44 pm
Совпадения преследуют меня. Утром в новостях читал, что уволили бортпроводницу, назвавшую Калининград Кенигсбергом. После в вики прочёл, что "Калинин закончил начальное земское училище, после чего поступил в услужение к соседу-помещику Мордухай-Болтовскому."

Сейчас у вас почитал про основную теорему арифметики. В вики прочитал, что она близка к леммам Евклида, которые приведены в переводе Мордухай-Болтовского.


(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-04-30 02:03 pm
простые порядки -> порядки простых степеней
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: 38irtimd
2018-05-01 11:55 pm
из этого же ряда мне нравится вывод теоремы про то, что сумма углов треугольника равна \pi, из теоремы Гаусса-Боннэ.
(Ответить) (Thread)