Дальше я цитирую собственный комментарий о гипотезе Римана. Для его понимания нужно хотя бы шаткое знакомство с тем, что такое комплексные числа и бесконечные ряды. После цитаты несколько слов о "доказательстве". Дисклеймер: я не математик.
Можно рассматривать бесконечные ряды типа
1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....
этот ряд расходится (растет неограниченно). Но если каждый знаменатель возводить в какую-то фиксированную степень, например
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...
или
1 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ...
то эти ряды будут сходится, у них будет какая-то определенная сумма. Каждой возможной степени можно сопоставить такую сумму, и это называется дзета-функция Римана, например z(2) будет сумма ряда с квадратами в знаменателе (примерно 1.6449...), z(3) сумма ряда с кубами (примерно 1.2020...), и так далее.
Далее, кроме степеней типа 2,3... в знаменателе можно также поставить дробные степени, или даже не действительные, а комплексные числа. Используя определенную технику, можно "расширить" дзета-функцию на всю комплексную плоскость, т.е. для любого комплексного числа x=a+ib определить сумму бесконечного ряда 1+1/2^x + 1/3^x + 1/4^x... Строго говоря, для некоторых x такой ряд не будет сходиться, но мы все равно можем определить для них сумму исходя из того, что для этих иксов значение дзета-функции "плавно" подсоединяется к тем иксам, где оно таки да сходится.
Теперь у нас есть дзета-функция, она оказывается очень важной для многих частей математики, комплексного анализа, теории чисел итд. Встает вопрос, для каких x сумма этого ряда будет 0 (это может быть, потому что при комплексной степени x 1/n^x необязательно положительное число - и вообще говоря это комплексное число). Оказывается, что легко найти нули функции для действительных отрицательных иксов, а также для таких, у которых действительная часть равна ровно 1/2, т.е. они вида x = 1/2 + i*b. Гипотеза Римана говорит, что других иксов, для которых дзета-функция равна нулю, нет. Поскольку "руками" посчитать дзета-функцию довольно затруднительно даже для иксов, где она сходится - а для тех, где не сходится, и мы подбираем значение по "плавному соединению" с другими, это еще тяжелее - доказать это очень сложно.
Гипотеза Римана - одна из самых знаменитых нерешенных проблем в математике. Она была в знаменитом списке 23 нерешенных проблем, который Гилберт сформулировал на рубеже 19 и 20 веков (восьмая проблема); она также одна из семи "проблем тысячелетия", за решение которых институт Клэя объявил приз в миллион долларов в 2000-м году. Есть много других гипотез в математике, которые следуют из гипотезы Римана, т.е. если ее доказать, то они все тоже окажутся решенными.
Про доказательство. Атия гениальный математик, который в 89 лет пошатнулся умом и это очень печальное зрелище. Настоящие математики не комментируют публично эту историю, потому что им его жалко, но никакого доказательства нет. У знакомых математиков история вызывает крайнюю неловкость, досаду, и нехорошие чувства в адрес организаторов конференции, которым не хватило смелости отказать корифею и не допустить выступления.
