?

Log in

No account? Create an account
две геометрические задачки - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

две геометрические задачки [окт. 5, 2018|02:46 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|, ]

Мне очень понравилась коллекция геометрических задачек Катрионы Ширер. Предлагаю вам две из них (по ссылке есть еще много, 20 в общем сложности, и еще интервью с автором):





Во второй задаче нужно найти площадь заштрихованного треугольника. Думаю, условия и так ясны, но на всякий случай: если в фигуре написано число, это ее площадь; если что-то выглядит квадратом, подразумевается, что это квадрат.

В комментариях есть правильные ответы, так что если хотите решить самостоятельно, подумайте как следует перед чтением комментариев.
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
[User Picture]From: dims12
2018-10-05 11:50 am
То есть, 3, например, на первом рисунке, это площадь квадрата и его сторона, таким образом, равна Sqrt[3]?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-10-05 01:07 pm
Да, именно так.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: vladimir000
2018-10-05 11:54 am
Во второй задаче:
Во сколько раз размер самого большого квадрата больше начального? Явно не в два и не в три - в два с половиной? Или как?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: mahalex
2018-10-05 11:58 am

Какая разница?

(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: vladimir000
2018-10-05 11:59 am
В первой задаче самый левый квадрат вообще лишний для решения:)
(Ответить) (Thread)
From: dmpogo
2018-10-05 04:22 pm

Нет, важен, поскольку неизвестно как сдвинут квадрат 3

(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: _hedning_
2018-10-05 12:40 pm
скорее всего ошибаюсь, но кажется, что 135 в первой...
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: utnapishti
2018-10-05 01:00 pm
У меня тоже 135.
Теперь надо придумать, как это получить "мгновенно".
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: chva
2018-10-05 12:58 pm
Первая задача совсем уж лёгкая (может быть, есть какое-то красивое решение, но она и в лоб легко раскусывается. По второй я не понял условия. Выше пишут, что размер большого квадрата неважен. Проходит ли нижняя сторона треугольника через середину среднего квадрата.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-10-05 01:13 pm
Нет, необязательно проходит через середину.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: chva
2018-10-05 01:07 pm
По первой задаче. Сторона верхнего квадрата sqr(3), средний в два раза больше, нижний в три раза, итого от верхушки верхнего до низа нижнего 6sqr(3), то есть в 6 раз больше, чем сторона верхнего квадрата.
рассмотрим треугольник, образованный левой стороной верхнего квадрата (катет), четвертью среднего (другой катет) и частью стороны наклонного (гипотенуза). По теореме Пифагора гипотенуза получится sqr(15)/2. Теперь рассмотрим треугольник с гипотенузой во всю сторону наклонного квадрата и катетом от верха верхнего квадрата до низа нижнего. Он подобен первому рассмотренному, причём катет в 6 раз больше, то есть гипотенуза тоже в 6 раз больше, 3sqr(15). Значит, площадь наклонного квадрата 9*15=135.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: utnapishti
2018-10-05 01:11 pm
ОК, наверное, первая задача быстрее всего решается так:
Изменим масштаб: поделим длины на sqrt(3), соответственно, площадь на 3.
Теперь площади квадратов справа: 9, 4, 1; а длины: 3, 2, 1.
Высота треугольника, запертого между 9-квадратом, 4-квадратом и большим квадратом: 2, а гипотенуза: sqrt(5).
A высота всех трёх квадратов суммарно - 6. Поэтому (из пропорции) сторона большого квадрата: 3*sqrt(5).
Площадь большого квадрата: 45.
Площадь большого квадрата до изменения масштаба: 3*45 = 135.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: _hedning_
2018-10-05 01:22 pm
иначе подошел
площадь большого квадрата - это квадрат гипотенузы Х у прямоугольного треугольника
длина его катета Y - сумма трех корней из площадей правых квардратов;
длина катета Z - 27, что очевидно из рисунка
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: utnapishti
2018-10-05 01:25 pm
Во второй задаче проще всего показать, что ответ не зависит от размера большого квадрата, и потом предположить, что сторона большого квадрата такая же, как у среднего. Иначе говоря, площадь большого квадрата тоже 20. И тогда сразу видно, что заштрихованная площадь - четверть объединения "среднего" и "большого" квадратов, то есть: 10.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-10-05 01:31 pm
Да, а вот как это показать? И (возможно, отдельны вопрос) есть ли интуитивное объяснение тому, что не зависит?

Edited at 2018-10-05 13:31 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: the_toad
2018-10-05 01:32 pm
(флегматически) а на рисунке 5 надо подсчитать число теоретических тарелок?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: fortunatus
2018-10-05 01:51 pm
№2 - 50, решил тупо алгебраически, обозначив сторону большого квадрата Х.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: fortunatus
2018-10-05 02:58 pm
Поправка - 10 (не заметил, что 5 это площадь, а не сторона).
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: timur0
2018-10-05 02:32 pm
Во второй очевидно, что 10. Над первой надо чуток подумать - вообще неясно, зачем там левый квадрат.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: timur0
2018-10-05 02:48 pm
В первой задаче 135, но тут пришлось брать карандаш и бумагу, в уме не получилось.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: son_0f_morning
2018-10-05 02:59 pm

Какие прекрасные задачки!

Решать предполагается как олимпиадные найдя какое-то построения, делающее вычисления простыми, а не "с головой в говно calculus'a", так?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-10-05 03:49 pm

Re: Какие прекрасные задачки!

Я думаю, как получается :) но конечно, если меньше вычислений, то приятнее.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: backswimmer
2018-10-05 03:30 pm
1) принимая за верное, что квадрат площадью 27 и правый квадрат площадью 12 имеют правые стороны, лежащие на одной прямой, можно сделать вычислить короткий катет треугольника, образуемого их сторонами и стороной искомого квадрата, как разность длин сторон. длинный катет — уже сторона треугольника площадью 12. отсюда вычисляется длина гипотенузы. аналогичные треугольники выше и ниже этого, очевидно, подобны ему, а их линейные размеры соответственно вдвое меньше и в полтора раза больше (вычисляется как соотношение длин длинных катетов, которые стороны квадратов) — на основании этого можно вычислить длины всех гипотенуз и, сложив их, получить сторону искомого квадрата и его площадь — 135. треугольник площадью 12 слева, судя по всему, не нужен.
2. размер большого квадрата, судя по всему, ничем не зафиксирован, поэтому, видимо, мы можем менять его так, как нам удобно — вершина искомого треугольника при этом перемещается по диагонали квадрата, то есть параллельно противолежащей стороне, что и обеспечивает постоянство площади. в частности, если уменьшить размеры большого квадрата до нуля, треугольник получится прямоугольным с одним катетом вдвое больше другого, который диагональ квадрата и размеры которого вычислимы по его площади. это позволяет вычислить площадь треугольника — 10.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alexa_uk
2018-10-05 03:37 pm
Честно говоря, не знаю что в решении писать. Обе задачи просто в лоб решаются.

Но вторая немножко неожиданная, приятно. ( ответ 10 )

В первой вроде 135, но в ней совсем ничего необычного.

Edited at 2018-10-05 15:40 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: zigel
2018-10-05 08:41 pm

Вторая задача тоде школьная оказалась. Очень приятная. 10. Если основание треугольника - диагональ самого маленького (5) квадрата, то его высота - диагональ среднего (20) квадрата.



Edited at 2018-10-05 20:46 (UTC)
(Ответить) (Thread)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>