?

Log in

No account? Create an account
математический турнир - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

математический турнир [ноя. 22, 2018|09:43 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Оказывается, есть такая штука - Математический турнир Гарвард-МИТ, для старшеклассников, проводится дважды в году, один раз в Гарварде, другой в МИТ. Организаторы - студенты в этих университетах.

Вот задачка из только что прошедшего ноябрьского раунда, нелегкая. Решение есть по ссылке, там все задачи выложены с решениями (нажмите на Solutions группы Theme). Не смотрите, если хотите решить самостоятельно.

Даны две вложенные друг в друга концентрические окружности, радиусами 1 и 2. В меньшую окружность вписан квадрат, а в большую - правильный пятиугольник. Перемножим все возможные расстояния от вершин пятиугольника к вершинам квадрата (всего 5*4=20 расстояний). Какое максимальное значение этого произведения может быть? Ответ удивит вас!


Вот фотография студентов-организаторов турнира в этом году:



Впечатляет. Можно организовать еще одну нематематическую игру прямо на основе этой фотографии. Называется "найди неазиата" :)
СсылкаОтветить

Comments:
From: vsvor
2018-11-22 09:25 am
Если считать известной задачу про произведение диагоналей правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, то решение напрашивается. Интересная вариация.

Each individual test is 10 problems and 50 minutes long, where all answers are single values (i.e. short answers).

Хм... Впрочем, в феврале у них есть тур с доказательствами.

Решение в одну строчку я бы сформулировал так: [спойлер.]совместим пять копий картинки, полученных поворотами на углы, кратные 2 pi/5, тогда требуется максимизировать произведение расстояний от некоторой точки на большой окружности до вершин правильного 20-угольника, вписанного в единичную, а это |z-z_1| |z-z_2| ... |z-z_20| = |z^20 - 1| при |z| = 2.


Edited at 2018-11-22 11:35 (UTC)
(Ответить) (Thread)