?

Log in

No account? Create an account
математический турнир - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

математический турнир [ноя. 22, 2018|09:43 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Оказывается, есть такая штука - Математический турнир Гарвард-МИТ, для старшеклассников, проводится дважды в году, один раз в Гарварде, другой в МИТ. Организаторы - студенты в этих университетах.

Вот задачка из только что прошедшего ноябрьского раунда, нелегкая. Решение есть по ссылке, там все задачи выложены с решениями (нажмите на Solutions группы Theme). Не смотрите, если хотите решить самостоятельно.

Даны две вложенные друг в друга концентрические окружности, радиусами 1 и 2. В меньшую окружность вписан квадрат, а в большую - правильный пятиугольник. Перемножим все возможные расстояния от вершин пятиугольника к вершинам квадрата (всего 5*4=20 расстояний). Какое максимальное значение этого произведения может быть? Ответ удивит вас!


Вот фотография студентов-организаторов турнира в этом году:



Впечатляет. Можно организовать еще одну нематематическую игру прямо на основе этой фотографии. Называется "найди неазиата" :)
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: avva
2018-11-22 02:06 pm
Я ее не смог решить в уме.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit.dreamwidth.org
2018-11-22 04:52 pm
Ну, vsvor выше написал, как. У меня было чуть длиннее, тоже с комплексными координатами: вершины квадрата a_1,...,a_4 — корни из единицы степени 4, вершины пятиугольника — ub_1,...,ub_5, где u имеет модуль 2, а b-шки — корни из единицы степени 5. Понятно, что произведение длин — это длина произведения, а произведение выглядит так: $\prod_{i,j}(ub_i - a_j) = \prod_i (\prod_j (ub_i - a_j)) = \prod_i ((ub_i)^4 - 1) = [по модулю] = \prod_i (u^4 - b_i^{-4}) = [так как 5 и 4 взаимно просты] = \prod_i (u^4 - b_i) = u^{20} - 1$. Максимизировать модуль $u^{20}-1$ — или, иначе, расстояния от чего-то с модулем $2^{20}$ до единицы — очевидно, как.

Edited at 2018-11-23 10:43 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2018-11-23 09:20 pm
\prod_i ((ub_i)^4 - 1) = [по модулю] = \prod_i (u^4 - b_i^{-4})

Я рассуждал похожим образом, но вот этот шаг мне не пришло в голову сделать даже на бумаге, а в уме точно без шансов. Я не нашел ничего лучше, чем быстро упростить вручную произведение \prod_i ((ub_i)^4 - 1).
(Ответить) (Parent) (Thread)