?

Log in

No account? Create an account
о привыкании к абстрактной математике - По делам сюда приплыл, а не за этим — ЖЖ [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о привыкании к абстрактной математике [фев. 10, 2019|06:56 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Цитата из книги Иэна Стюарта "Концепции современной математики", написанной для широкой аудитории, читателей, не знакомых с математикой за пределом школьной программы:

«Так, например, понятие «rруппы» относится и к жестким движениям в пространстве, и к симметриям гeoметрических фиrур, и к аддитивной структуре на множестве целых чисел, и к деформациям кривых в тополоrическом пространстве. Общим свойством во всех перечисленных случаях является возможность составить такую комбинацию двух данных объектов, которая дает в результате объект той же природы. Два жестких движения, выполненные последовательно одно за друrим, снова дают жесткое движение; сумма двух целых чисел — целое число; две кривые, смыкающиеся концами, образуют новую кривую».

У меня с годами сложилось впечатление, что подобные объяснения - "что такое группа" и многие другие примеры - не "работают" в случае неподготовленного читателя в первую очередь потому, что авторы объяснений не осознают, до какой степени привычна им "объектификация", т.е. использование абстрактных понятий (типа "функция" или "жесткое движение") в виде (псевдо-)конкретных "объектов", с которыми можно выполнять некие "операции".

"Два жестких движения, выполненные последовательно одно за друrим, снова дают жесткое движение". Математик не осознает, насколько ужасающе неинтуитивным это предложение является для любого, кто не прошел хоть в какой-то степени абстрактную школу современной математики. Можно объяснить, что такое "жесткое движение" на пальцах, но после этого объяснения ваш собеседник-гуманитарий понимает, что жесткое движение - это такое действие, это что-то, что происходит во времени с конкретной фигурой. Окей, мы можем совершить два движения одно за другим, предположим, но ничто не подготовило нас к тому, чтобы воспринимать это сочетание, как операцию, которую проводят *с движениями*, а не с фигурой. Вот тут, мне кажется, ключевая загвоздка. Движения - это действия, а не объекты, их не сочетают (а тем более не складывают, но это отдельная тема), с ними вообще ничего не делают, делают *ими*. Вы можете написать на бумаге, что движения это объекты и с ними проводят операцию, которая дает новое движение, но условный "гуманитарий" без опыта такой ментальной манипуляции может прочитать эти слова пять раз и они все равно останутся словами. Это нужно прочувствовать на опыте, продумать и вдумать в себя, тут очень помогает именно нотация: то, что мы можем обозначить действие через букву, и написать + или другой символ операции, как будто это были числа и мы с ними что-то делали. Но тоже не с первого знакомства, нужно, чтобы эти - тривиальные для математика - примеры отпечатались в мозгу и что-то там повернулось, что-то, что делает эти ментальные операции:

- "смотрим на этот сложный объект-действие-что-угодно как на простой объект, с которым можно что-то делать"
- "смотрим на все эти возможные объекты и воспринимаем их как единое *множество*, с которым можно что-то делать"

- делает их все тривиально простыми. Я думаю, что даже самое ясное и полезное объяснение в нонфикшн-книге не может покрыть эту пропасть непонимания.

Отдельная тема, как я написал выше - это что плюс может означать "что угодно, лишь бы аксиомы выполнялись", и это тоже странная точка зрения, к которой надо привыкнуть по примерам, которые сначала не понимаешь, и задачам, которые сначала не выходят. Но на мой взгляд, это вторичная проблема в сравнении с описанной выше.

(это была моя реплика из дискуссии в чате телеграма, которую мне захотелось вынести в отдельную запись. Прошу не вчитывать в нее никакого негативного отношения к гуманитариям. Прошлая запись на схожую тему: Можно ли объяснить, что такое теория категорий?)
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
[User Picture]From: sspr
2019-02-10 05:08 pm
это все хногя на постном масле. Для математика бного или нет ничего не сложно и понятно, для остальных это не нужно. Не нужно простым языком объхяснять теорию групп
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2019-02-10 06:55 pm
А как же столь любимая многими фраза про объяснения сколько-то-летними ребенку?:)
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: deep_econom
2019-02-10 05:19 pm
нужны ряд примеров и ряд контропримеров по идентификации и использованию конструкций, чего в учебниках обычно нет
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: deep_econom
2019-02-11 06:49 am
Точно так же, смысл математического понятия далеко не содержится в его формальном определении. Не меньше (скорее больше)' дает набор основных примеров (как правило, в не очень большом числе), являющихся для математика одновременно и мотивировкой, и содержательным определением, и «смыслом» понятия.
стр.7.
Основные понятия алгебры. И.Р.Шафаревич.
http://mi.mathnet.ru/intf69

вспоминаем также принцип метасистемных переходов Турчина
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rwalk
2019-02-10 05:21 pm
Кубик Рубика в помощь - с ним можно даже объяснить, что такое полупрямое произведение.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: hyperpov
2019-02-10 07:37 pm
На примере такого кубика

можно даже объяснить, что такое группоид. Но ключевой вопрос - кому объяснить.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: a_kozlovsky
2019-02-10 05:25 pm
Может кто-нибудь из математиков на пальцах объяснить, какая польза от теории групп?

Вот, допустим, я программист, и мне нужно сделать многопользовательский текстовый редактор, типа Google Docs, в котором люди могут совместно редактировать один и тот же текст. Насколько я понимаю, операции над текстом - это практически группа. Я могу сложить две последовательные операции (добавить символ X в позицию курсора и добавить символ Y в позицию курсора) и получить новую операцию (добавить символы XY в позицию курсора). У меня есть нулевая операция (добавить пустую строку). Комбинация прямого элемента (добавить символ Х) и обратного элемента (удалить символ X) даёт мне нулевую операцию.

Скорее всего, у меня в коде операции, пересылаемые с компьютеров пользователей на сервер, так и будут представлены в виде объектов, и у них будут методы, позволяющие комбинировать операции в одну.

Допустим, я знаю, что совокупность этих операций - это в математическом смысле группа. Что ценного я могу для себя от этого знания получить? Какая теорема теории групп поможет мне написать более простой и эффективный код?

Edited at 2019-02-10 17:28 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alaev
2019-02-10 05:50 pm
- Насколько я понимаю, операции над текстом - это практически группа.

Какая-то это сомнительная группа. Если каждому слову A сопоставить функцию f_A = "вставка А в позицию курсора", а потом брать композицию таких функций, то получится ассоциативная операция, то есть полугруппа, причём с единицей.

Можно добавить и псевдо-обратную функцию g_A = "удаление А в позиции курсора". Это будет правый обратный к f_A, но не левый обратный. Если сначала удалять слово A, то его в тексте может и не быть. Если в этом случае ничего не делать, а потом добавить А, то единицы не получится.

Но даже если бы это была группа, совсем не обязательно, что теория групп окажется полезной в вашем случае. Чай не бумажка в 100 долларов. Например, могли бы оказаться полезными какие-нибудь хитрые алгоритмы поиска подслов.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: alaev
2019-02-10 05:31 pm
- Математик не осознает, насколько ужасающе неинтуитивным это предложение является для любого, кто не прошел хоть в какой-то степени абстрактную школу современной математики.

Чего уж сразу не осознаёт. Просто не нужно людей, не одолевших простую математику, грузить сложной. Пусть сначала годик поработают с функциями, потом начинают рассматривать их как объекты, которые можно складывать и перемножать.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: vmenshov
2019-02-10 06:00 pm
Ну вот фиг знает. Решение систем линейных дифференциальных уравнений - это сложная математика или простая? Потому что системы я решал, но осознать вот эти вот "жесткие движения" я не могу. Ну и группы тоже из первого абзаца поста до меня не доходят. А вроде ж не гуманитарий вовсе. Да и программирую уже лет 20, довольно большие и нагруженные системы.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: akor168
2019-02-10 06:02 pm
Как мне тоже достало читать объяснения групп на примерах геометрических симметрий. Причем, реально люди которые это пишут, серьезно считают что это понятнее. Ну с какого будуна-то? Это понятно лишь людям, которые заведомо имеют нетривиальную геометрическую интуицию(то есть не всякому математику даже). Остальным это непонятно и неинтересно, и совершенно не мотивирует. Числа хотя бы складывать можно или умножать, и противоположный (обратный) брать, или не брать, поскольку его не существует. А тут какие-то симметрии, которые надо на минуточку представить в уме(поскольку наглядных физических пособий нет). Обычный человек даже с квадратом будет испытывать проблемы, не говоря уже о треугольнике. Ну поворот на угол или отражение еще представит, а уже композицию это дохлый номер. Про стереометрию я вообще молчу.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: xgrbml
2019-02-10 06:16 pm
...и это означает, что вообще незачем объяснять, что такое группа, человеку, не находящемуся в процессе серьезного изучения математики.

Потому как для начального освоения понятия группы геометрические преобразования - важнейшая серия ценных примеров, без которых понят простейшие определения (напр., нормальной подгруппы) вообще нереально (ну можно еще в кач-ве примеров брать группы подстановок, но скучно и все равно мало).
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: shultz_flory
2019-02-10 06:20 pm
А есть какие-нибудь результаты, которые невозможно получить без использования понятия "группа"?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: xgrbml
2019-02-10 06:44 pm
Это не очень корректный вопрос. Точнее будет так: есть ли такие результаты, что никакому разумному человеку не придет в голову пытаться излагать их доказательства, не упоминая группы? Тогда ответ положительный.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: livelight
2019-02-10 06:21 pm
Ага, помню этот переход. Когда до меня донесли, что линнйная алгебра таки работает с векторами. В курсе школьной математики есть кое-что про "свободные векторы" и про векторы, торчащие из конкретной точки, и даже какой-то задел для работы именно со "свободными векторами" даётся, но вот отказаться от точек вообще, оставив только векторы - это уже дополнительный фазовый переход в мозгу надо совершить.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: urod
2019-02-10 06:37 pm
В курсе школьной математики написано: мы будем работать с параллельными переносами, называя их иначе: векторами.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: a_kozlovsky
2019-02-10 07:00 pm
Я наконец нашел объяснение, зачем может пригодиться знание теории групп! https://abstrusegoose.com/96
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alaev
2019-02-10 07:33 pm
Если вам необходимы содержательные примеры, то можно упомянуть, что структура ({0,1}, xor) будет коммутативной группой, а если добавить туда конъюнкцию &, то получится поле. Знание некоторых простых фактов из теории колец и полей может пригодиться для (неочевидных) упрощений выражений, составленных из xor и &.

Близкий пример: если у вас есть регистры, в которых могут храниться числа длиной не более n бит, и на них есть операции сложения и умножения, при которых результат, грубо говоря, обрезается до n бит, то вы получите кольцо вычетов по модулю 2^n. Знание некоторых фактов из теории колец может помочь при анализе таких вычислений.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: vmenshov
2019-02-10 07:45 pm
А алгоритм сборки кубика-Рубика с помощью теории групп придумали?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: hyperpov
2019-02-10 07:58 pm
С помощью теории групп придумали алгоритмы, дающие хорошие оценки на число ходов. Человеком они не исполняются, слишком сложные. Освоение сборки человеком не требует теории групп.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: botya
2019-02-10 07:50 pm
Первый опыт понимания, кмк, подобных вещей даётся в школе или на 1 курсе вуза (не помню уже) на примере производной.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ncuxuamp_pro
2019-02-10 08:23 pm
как вы правы, какой вы молодец!
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: prol_prolych
2019-02-10 08:34 pm
Полагаю, что ето заблуждение Анатолия, присущее программистам, неверно понявшим парадигму объектно-ориентированного программирования.
В ООП объектом является сообщение, а не сущность.
То есть в выражении I := J + K объектами являются не I, J, K, а сообщения := и +.
Из-за неверного понимания, что называется объектом в ООП, и возникают ереси генериков.

Edited at 2019-02-10 20:42 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: migmit.dreamwidth.org
2019-02-10 10:54 pm
Это вы где-то в прошлом веке застряли.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: buddha239
2019-02-10 08:58 pm
Есть тезис, что математические идеи полезно пояснять на физических и геометрических примерах. Мне же кажется, что это верно только для определенного устройства голов, которым объясняют, и при условии знакомства с этими областями.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dmitrmax
2019-02-11 12:41 pm
В очень многих случаях, это довольно странная затея. Это, как объяснить, что гамма-функция - это обобщение факториала на вещественную или комплексную ось. То есть тот формализм, который вы строите, чтобы расширить нечто до гораздо более обширного применения, вы схлопываете обратно до этого самого нечта. И становится не понятно, зачем тогда это самое нечто расширять )
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: livelight
2019-02-10 09:41 pm
А вот, кстати, ещё пример дискуссии вокруг как раз этого способа мышления
https://anairos.livejournal.com/74634.html?thread=1823370#t1823370

Для математика смысл текста "Если вы согласны взять отрицательное число (-2) положительное число раз (3), то теперь дело за малым: отменить это действие и вернуть, как было. Операция "отменить три раза" коммутативна и ассоциативна, её можно отделить от изначальной операции "взять три раза" и применять самостоятельно." интуитивно понятен: "взять минус 3 раза" -- это то же самое, что отменить "взятие 3 раза". Не-математик как раз и говорит, что совершенно для него не интуитивно, даже если и понятно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alaev
2019-02-11 10:02 am
Да, там интересная дискуссия.
(Ответить) (Parent) (Thread)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>