Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

о законах кеплера

Я размышлял над тем, как сделать более простым/наглядным док-во того, что орбиты планет вокруг Солнца - эллипсы, как следствие закона притяжения Ньютона (иными словами, вывод законов Кеплера из закона притяжения и второго закона Ньютона).

Есть пятьсот тысяч объяснений этого, в учебниках, тьюториалах, страницах в сети, википедии итд. Все, что я видел, переходят к полярным координатам, и в конечном итоге выводят уравнение траектории r = L/(1+e*cos(\phi)), т.е. зависимость радиуса от угла, где L и e - константы. Это общее уравнение конического сечения; в зависимости от значения e, оно может быть эллипсом, параболой или гиперболой. Но мне кажется, что можно "проще" (пусть и необязательно "правильнее"). Можно обойтись без полярных координат, без d(\phi)/dt итп., а все делать в обычной координатной системе, и в итоге получить общее уравнение конического сечения в картезианской форме, а именно Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0, где A...F какие-то константы. Это опять-таки может быть эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от значения детерминанта B^2-4AC, подробности в википедии про конические сечения.

Если читатель помнит, что такое производные и как брать производную сложной функции, и что скорость/ускорение - первая/вторая производная от положения, этого достаточно для док-ва эллиптической орбиты, и мне это кажется полезным. План примерно такой. Обозначим с помощью x', x'', y', y'' производные по t. Второй закон Ньютона вместе с формулой силы притяжения превращается в уравнения:

x'' = (-k/r^3)*x
y'' = (-k/r^3)*y, где r = sqrt(x^2+y^2), расстояние до Солнца, оно же начало координат, а k - постоянная.

Пользуясь этими формулами, мы видим, что L = xy' - x'y является постоянной величиной, потому что dL/dt = 0 (L это удельный угловой момент, но необязательно говорить это вслух). Далее мы строим пару координат y'L - x(k/r), -x'L - y(k/r), и показываем, что каждая из этих координат тоже постоянна (тут единственное место с немного утомительными выкладками), поэтому их можно обозначить как некие (c1, c2). На самом деле это так называемый вектор Лапласа-Рунге-Ленца, но это тоже необязательно говорить вслух. Теперь если подставить в c1*x+c2*y вышеуказанные определения c1,c2, то это окажется равным L^2-kr, т.е. иными словами kr = L^2-c1*x-c2*y. Но это все, что нужно, потому что возведя обе стороны в квадрат, слева мы получаем r^2=x^2+y^2, и все вместе оказывается квадратичным уравнением от x,y, т.е. общей формой конического сечения.

Может быть, стоит записать это более подробно и с нормальной математической нотацией. Мне кажется, есть немало людей, которым такое объяснение может быть доступно и интересно, а к подходу через полярные координаты, угловой момент в виде r^2*d(phi)/dt, итд. они не подготовлены.
Tags: физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 43 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →