Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

о детской математике

Педагогика как наука об образовании страдает от двух фундаментальных проблем. Во-первых, в первом приближении никого ничему нельзя научить, поэтому вся затея бессмысленна. Во-вторых, даже если изредка чему-то можно, этот процесс очень трудно оценить, измерить и подвергнуть точному экспериментальному сравнению - еще труднее, чем в психологии; поэтому педагогика рассыпается на конгломерат разных "школ", "подходов" и "методик", которые соревнуются друг с другом в основном по внешней риторической убедительности, чем по реальной эффективности, и меняются случайным образом по велению моды и со сменой поколений.

Вместе с тем, за последние 50-100 лет среди теоретиков педагогики оказалось по разным причинам немало умных и деятельных людей, и поэтому отдельные статьи в этой дисциплине бывают очень интересными, поучительными, полными восхитительных фактов и опытов. Сегодня мне в очередной раз попалась правдивая история, которую уже встречал в прошлом в англоязычных статьях о преподавании математики в младших классах.

Младшеклассникам предложили следующую задачу:

На борту корабля 26 овец и 10 коз. Сколько лет капитану?

Из 97 учеников 76 дали ответ на этот вопрос, так или иначе используя исходные данные (видимо, наиболе частым ответом было 36). Лишь незначительное меньшинство ответили, что задача бессмысленная или что они не могут ее решить.


В этой истории выпукло, емко, смешно проявляется знакомая учителям привычка учеников манипулировать числами, не вдумываясь в смысл задачи. Неудивительно, что она кочует из статьи в статью. Кстати, в 2018-м году был небольшой всплеск статей в СМИ, когда эта задача обнаружилась в контрольной по математике в глубинке Китая и рассмешила Интернет. Об этом написали в частности BBC и российские источники, но незамеченным остался факт, что ровно в этом виде она известна с 80-х в профессиональной литературе педагогов.

Сегодня я добрался до первоисточника (это не было тяжело, всего лишь цепочка из 4 ссылок), который оказался по-французски - отчет за 1980-й год института педагогики IREM в Гренобле. За годы пересказов история не исказилась, что прекрасно, но в первоисточнике оказалось все-таки немало интересного дополнительного контекста. Во-первых, пораженные этим первым обстоятельством, французские педагоги составили еще несколько задач подобного рода и систематически опросили учеников 7-10 лет.

Например: в овчарне 125 овец и 5 собак, сколько лет пастуху? Ученик объясняет свое решение: "сначала я попробовал 125+5, но это слишком большой возраст, потом 125-5, тоже не подходит. Зато 125/5=25 подходит для возраста. Поэтому я уверен в своем ответе."

Во-вторых, важный нюанс (почему всегда должны быть нюансы? Почему ничто не может быть тупо однозначным?): в целом только среди учеников 2-3 классов (7-8 лет) подавляющее большинство делали какие-то действия с цифрами и писали ответ. Среди учеников 4-5 классов (9-10 лет), наоборот, уже большинство писали, что не могут решить задачу или она кажется неправильной.

Может, вам кажется, что у знакомых вам школьников все будет по-другому, и это такая случайность, или французский национальный дух, или то, что 1980 был годом обезьяны, или еще что? Пишет некая блоггерша 10 лет назад, о которой ничего не знаю, даже не знаю, где преподавала (ее результат для 5-8 классов более пессимистичен, чем исходный французский!):

"Мне такие результаты показались печальными и даже неправдоподобными, и я решила провести свой небольшой эксперимент. Скажу честно, я была просто уверена, что мои дети посмеются с этой задачи и не станут ее решать. Не тут-то было!!! Все 24 человека, ученики с 5-го по 8-й класс, долго и методично пытались разгадать тайну возраста капитана. Ответы варьировались от 2,6 до 287 лет. Только двое наконец сказали, что ответа у этой задачи нет. Но им никто не поверил: раз есть задача, должно быть и решение."

====================================================

И все-таки мне не очень нравится этот эксперимент, несмотря на всю его выпуклость. Как раз по той причине, которую указала блоггерша: "Раз есть задача, должно быть и решение". Дети к этому приучены, и авторитет учителя заставляет их предположить, что какое-то решение есть. Трудно - невозможно - отделить случай "вообще не вник в условие, сложил два числа, как обычно требуется" от случая "выглядит бредом, но они хотят, чтобы я что-то сделал, и надо дать какой-то ответ, от фонаря попробую сложить". Эксперимент не чистый.

Поэтому мне больше нравится другая задача в том же духе, которую вычитал в одной из статей, которые пролистал в проходе по цепочке к первоисточнику задачи про возраст капитана. Это задача про хобби учеников. Сначала условие, и решите сами перед тем, как продолжать читать - далее я объясню, чем она интересна.

Класс из 30 учеников попросили ответить, есть ли у них хобби читать или играть на музыкальном инструменте в свободное время. Результаты: 16 учеников читают, 13 занимаются музыкой, 5 не занимаются ни тем ни другим.

1. Сколько учеников и читают, и занимаются музыкой?
2. Сколько из тех, кто занимается музыкой, не читают?
3. Сколько из тех, кто читает, не занимается музыкой?


Теперь объясню, что интересно в этой задаче (вы ведь уже ответили для себя на все три вопроса, верно?)

Автор статьи предложил эту задачу 56 ученикам 5-8 классов и получил следующий результат, который я бы никогда не предсказал. 100% учеников правильно ответили на первый вопрос (ответ: 4), но только 25% правильно ответили на второй, и столько же на третий. В обоих случаях самым частым неправильным ответом было тоже 4, плюс многие просто не ответили.

Меня это удивило поначалу, потому что я не мог понять, как можно правильно ответить на первый вопрос и после этого затрудниться с остальными. Автор объясняет это так (и вроде бы объяснения самих учеников эту версию поддерживают). Большинство складывают 16+13+5, получают 34, т.е. на 4 больше, "чем надо", и поэтому "понимают", что 4 это правильный ответ на первый вопрос. Но при этом модели ситуации в голове у них не возникает, т.е. они не видят диаграмму Венна или другое деление на группы. По сути дела они манипулируют числами, не пытаясь продумать смысл задачи, и неверные ответы на 2-3 вопросы это демонстрируют.

Я повторил этот эксперимент на очень репрезентативной отборке n=1 (ученица 5 класса) и подтвердил результаты исходной статьи. Ю. быстро ответила "4" на первый вопрос, но надолго задумалась над вторым и третьим; сначала пыталась объяснить, что это невозможно узнать, а потом решила, что ответ будет 16 и 13. Кстати, полагаю, что многие ученики, не продумывающие модель вопроса, не понимают сознательно, что между 16 и 13 есть пересечение (казалось бы, их верный ответ на первый вопрос предполагает это, но может быть, они представляют это, не продумывая как следует, что "и то и другое" это отдельный вид ответа, не указанный в условии). Только когда я попросил Ю. как следует еще раз подумать над условием задачи и над тем, что означают числа '16', '13' и '5' и какие ученики в них входят, она дошла - не сразу - до правильного ответа на второй и третий вопросы; и тогда по ее объяснениям уже было понятно, что она построила правильную "картинку" в голове, которой вначале, несмотря на правильный ответ на первый вопрос, у нее не было.

Мораль та же, что с задачей про возраст капитана - ученики привыкают бездумно проводить арифметические операции и выдавать "логичный" ответ; для того, чтобы научить их решать задачи, важно проверять и форсировать их умение строить модели в голове - но эксперимент более чистый, потому что нет загрязняющего фактора "авторитет учителя заставляет игнорировать сущий абсурд".
Tags: математика, обучение
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 508 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Учительницу, которая сама пишет «посмеются с этой задачи», вообще нельзя в школу пускать. Дальше можно порассуждать о качестве школы, у нас здесь качество очень разное.
Украинизм, ничего страшного.

irina_l

1 year ago

knop

1 year ago

difdufzariz

1 year ago


Простите, а много Вы знаете школ, классов, учителей, преподавателей... даже ВУЗов — где учили бы не РЕШАТЬ задачи, а их СОСТАВЛЯТЬ (на основании описания или демонстрации некой проблемы)?

Я вот ни одного такого примера назвать не могу (точнее, ОДИН могу, но он вообще «с другой планеты»).

Конечно, дети просто тупо комбинируют числа, пытаясь найти ответ, который учитель назвал бы правильным. А разве их учили чему-то иному? Да и вообще, это более выгодная стратегия в современных образовательных учреждениях (быстрее получается).

Лол.
Спросила дочь. Упрощённый вариант ей дала. На большом корабле 6 баранов и три козы. Сколько лет капитану?

Сначала она дотошно пыталась выяснить куда они плывут. Потом сказала, что капитану или 9, или 19.

Я ей объяснила, что задача бессмысленная. И на основании этих данных возраст капитана неизвестен.

Она сказала, что это очень плохая задача, неприятная. и потом ещё минут десять рассуждала а уж не 22 года ли ему?

knop

1 year ago

lolique

1 year ago

a_konst

1 year ago

+++

greenkrokodilla

1 year ago

> Мораль та же, что с задачей про возраст капитана -
> ученики привыкают бездумно проводить арифметические
> операции и выдавать "логичный" ответ

Да, и именно поэтому теории Эйнштейна так глубинно
с одной стороны - и так примитивно-очевидно с другой
НЕ-ВЕР-НЫ.
Нет, для физической реальности не 'всё равно', если вы
возьмёте как бы верные формулы полученные из одних
представлений, а затем схоластически объявите в них иные
входящие величины переменными или постоянными.

Это как раз и есть умственный уровень 7-летнего, или
умственно недоразвитого взрослого (физиологически ли,
и/или культурно, ибо его культура предписывает ему
'легитимность' схоластических манипуляций)

--------
Можно сказать даже шире - это профессиональный дебилизм
математиков.
Когда строится мат-модель физической реальности, надо
очень хорошо осознавать, какие свойства чисел (а число =
абстракция со множеством сторон) использованы в модели,
с какими ограничениями и т.д.
Математики же получив исходныю положения, подменяют физ.
реальность ЛЮБЫМИ доступными исторически выдуманными
манипуляциями с числами, опирающимися на ЛЮБЫЕ их свойства -
а потом получив схоластические результаты ПРИПИСЫВАЮТ их
реальности.
Фазу поверки выводов реальностью современная 'теорфизика',
(начиная со схоластиэческого маразма Эйнштейна, в его краже
чужих формул и их дикой реинтерпретации), во всёй выращенной
ей мировой раковой опухоли схолстики, просто игнорирует либо
беспардонно подгоняет - как обманули с 'обнаружением гравита-
ционной волны', или ранее с 'запаздыванием часов' при самолет-
ных облётах Земли, или еще раньше - со 'смещением звёзд на
фотопластинках' при затмении Солнца и т.д.
А в чем не верны теории Эйнштейна? И что значит обманули с обнаружением гравитационной волны? А опыт Майкельсона - тоже обман?

А дальше?

submagic

1 year ago

Re: А дальше?

avva

1 year ago

submagic

1 year ago

submagic

1 year ago

nakem

1 year ago

Поясните

submagic

1 year ago

anonim_legion

1 year ago

ab_dachshund

1 year ago

К сожалению, мне кажется, что суть "загрязняющего фактора" ещё хуже, чем "авторитет учителя". А именно: ребёнок, подозревающий, что у задачи нет решения, боится, что другие дети будут над ними смеяться, или/и учитель выставит его перед другими идиотом.
Да, мне это не пришло в голову, но ты наверняка прав :(

knop

1 year ago

lolique

1 year ago

a_konst

1 year ago

"Класс из 30 учеников попросили ответить, есть ли у них хобби читать или играть на музыкальном инструменте в свободное время. Результаты: 16 учеников читают, 13 занимаются музыкой, 5 не занимаются ни тем ни другим.

1. Сколько учеников и читают, и занимаются музыкой?
2. Сколько из тех, кто занимается музыкой, не читают?
3. Сколько из тех, кто читает, не занимается музыкой?"

1. Ноль, потому что в условии указано чётко, "читать или играть на музыкальных инструментах". То есть ученики НЕ могут одновременно и читать, и играть на музыкальных инструментах.
2. 13, потому что в условии написано, что 13 занимаются музыкой и не могут заниматься ничем другим.
3. 16, потому что те, кто читают, не занимаются музыкой, по условию.
А кто сказал, что имелось в виду исключающее "или"?

prol_prolych

1 year ago

pphantom

1 year ago

sleeping_death

1 year ago

Ответ на первую задачу: 27 лет. И попробуйте доказать, что он неправильный.
Правильный ответ: если существует капитан, по условиям задачи ему может быть от 0 до X лет, где X - максимально возможная продолжительность жизни капитанов. Поскольку ваш ответ не совпадает с правильным, он неправильный, QED.

georg_pik

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

georg_pik

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

klatzka

1 year ago

deadkittten

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

anonim_legion

1 year ago

vvyy

1 year ago

redis

1 year ago

deadkittten

1 year ago

nakem

1 year ago

А могли бы и так спросить - плывет клипер, на клипере шкипер, у шкипера что?
Меня больше интересует другой вопрос - есть ли особое название у разновидности стихотворений, в которых ожидаемая непристойная рифма заменяется другим словом и процесс повторяется?

difdufzariz

1 year ago

lakshin

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

andreev

1 year ago

Наверное, этим детям не морочили в голову задачками про "летели два напильника, один на север, другой без ручки, сколько лет моей бабушке?" И прочим популярным в моем детстве.:) Ну, или у них, как водится, жизнь отдельно, школа - отдельно.
Кстати да, было такое, совсем забыл! Именно про напильники, спасибо, что напомнили :)

deep_econom

1 year ago

Хех!

de_nada

1 year ago

RE: Хех!

deep_econom

1 year ago

grihanm

1 year ago

urease

1 year ago

Интересно, как часто предложения "как следует еще раз подумать над условием задачи" без наводящих вопросов помогают найти правильный ответ..

Дочка, 8 лет, за спиной 1-2 класс пройденный в один год (как старая десятилетка), уверено получила возраст капитана сложением коз и овец :-(
Увы.
Может их в этом возрасте ничему такому учить пока не надо? Математике? Просто рано.

Надо. Не опоздайте, потом поздно уже будет.

Моей младшей 9, тоже закончила второй класс. Она успешно решила задачу о классе из 30 учеников и правильно ее объяснила. Разумеется, это была не первая внешкольная задача, которую мы с ней решали. Но вроде бы кругами Эйлера до сих пор не доводилось заниматься.

vishniakov

1 year ago

Люди добрые, но почему 4?
В смысле, почему правильный ответ на первый вопрос 4, или почему отвечали 4 на второй и третий тоже?

anna_bpguide

1 year ago

serega133

1 year ago

anna_bpguide

1 year ago

serega133

1 year ago

vlad_suh

1 year ago

serega133

1 year ago

avva

1 year ago

vlad_suh

1 year ago

michaelkoloboff

1 year ago

gul_kiev

1 year ago

vlad_suh

1 year ago

Новая молоденькая учительница приходит в класс и сразу задачу задаёт:
"Дети, в моей квартире четыре окна, пять дверей, две кладовки и 64 квадратных метра. Вопрос: сколько мне лет?"
Вовочка тянет руку: "Двадцать четыре года!" - "Правильно, мальчик, а как ты решил?" - "А мне 12 лет, и меня папа полудурком называет."
Мне больше нравится пример Успенского: построить совокупность всех слов данного языка, имеющих хотя бы одну общую букву. Тут даже взрослые часто попадаются.
Я бы ещё добавил: выбрать равновероятно случайное число.
Общую для всей совокупности или попарно?

Во втором случае будет вообще всё множество слов языка, в первом - я не понял прикола.

aerffadf

1 year ago

vlad_suh

1 year ago

aerffadf

1 year ago

vlad_suh

1 year ago

anonim_legion

1 year ago

r3po

1 year ago

gul_kiev

1 year ago

r3po

1 year ago

gul_kiev

1 year ago

r3po

1 year ago

gul_kiev

1 year ago

r3po

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

r3po

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

r3po

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

r3po

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

vlad_suh

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

vlad_suh

1 year ago

difdufzariz

1 year ago

Хм. Про капитана же есть "как бы сходная задача". Когда вначале говорится "Представь, что ты капитан корабля". Дальше долго перечисляется всякая информация про корабль, а в конце задаётся тот самый вопрос "Сколько лет капитану?"

Так что у меня самым первым позывом было назвать свой возраст :)
О! Точно.

livelight

1 year ago

>>Педагогика как наука

Педагогика НЕ наука
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →