I would also like to see a simple explanation (accessible to some-one with decent general mathematical background) + why one should care. Not sure that such an explanation exists, unfortunately. Pure mathematics is becoming increasingly a thing in itself.

If you are a pure mathematician then I would bet 10:1 that you have no need to care. If you are anything else that I may bet 10000:1.:)

Things that are interesting to a pure mathematician are not interesting to a plumber, and vice versa. I think that this is quite normal.

На схожую тему (и там ссылки на Шеня о том, насколько непонятными вещами занимаются теперь математики):
https://i-eron.livejournal.com/50225.html

Все множества, взятые вместе, образуют категорию. Все категории, взятые вместе, образуют 2-категорию. Все 2-категории, взятые вместе, образуют 3-категорию, и т.д.

Почему? Потому что между множествами бывают отображения. Множества + отображения между ними -- это категория множеств.

А между категориями бывают функторы. Далее, если С и D -- категории, а F и G -- функторы из C в D, то между F и G бывают естественные преобразования (морфизмы функторов). Категории + функторы + естественные преобразования функторов -- это 2-категория категорий.

А что подразумевается под отображениями?

Топосы тут, к сожалению, не помогут. Идея в том, чтобы рассматривать категории, в которых между стрелками есть "стрелки второго порядка", между ними "стрелки третьего порядка" и так далее до бесконечности. Такая ситуация возникает в топологии, где между путями есть гомотопии, между гомотопиями есть "непрерывные деформации гомотопий друг в друга" и так далее. При попытке определить такие категории аксиоматически возникает ад. Вот определение категории четвёртого порядка (картинками полюбуйтесь)
http://math.ucr.edu/home/baez/trimble/tetracategories.html
Начиная с пятого порядка и выше выписывать определения явно становится невозможным для человека. Делаются попытки дать более абстрактное аксиоматическое определение, где не надо рисовать сотни коммутативных диаграмм. Таких определений дано несколько, их равносильность не доказана (насколько я знаю). Для категорий второго и третьего порядка есть изумительный пруфчекер Globular (он-лайн, работает в браузере)
https://golem.ph.utexas.edu/category/2015/12/globular.html
который позволяет доказывать о них теоремы, изображённые в виде картинок, по принципу "раскрась сам"
http://arxiv.org/pdf/1401.7220v2.pdf
Придумали его, что характерно, посторонние люди с незамыленным взглядом (квантовые физики).
Топосы, кстати, вещь наглядная, изучить их гораздо легче.

Мне кажется, что в Лури-науке то, что Вы говорите, еще и связано с гомотопиями - что добавляет к картине много нового.:)

Как насчет https://ncatlab.org/nlab/show/infinity-category ?

Да-да, если хочется вкурить, то это туда.:)

Про модельные категории никогда не слышали? Там такая история: у каждой модельной категории есть гомотопическая категория. Соответственно, последняя содержит меньше информации, чем исходная модельная категория. При этом, "самая важная информация" таки содержится в гомотопической категории, но во многих нужных конструкциях таки фигурирует модельная. И, что самое печальное, у одной и той же гомотопической категории может быть много не связанных между собой "моделей", и невозможно сказать, что одна из них каноническая/самая лучшая.

А Лури-наука - один из методов работы с этой байдой.:)

Что-нибудь понятно?:) Примеры нужны? Думаю, они легко гуглятся.

http://inspirehep.net/record/1221597/references

Как ни странно, впервые с попыткой дисквалифицировать знак равенства я столкнулся ещё в СССР в конце шестидесятых, когда на головы бедных детей спустили новую школьную программу по математике, подготовленную под руководством академика Колмогорова.

Центральной идеей там было преподавать всю математику на языке теории множеств. Вследствие этого две геометрические фигуры, например, не могли быть "равными", а должны были именоваться "конгруэнтными". Детишек это не особенно напрягало, но повергло в шок их родителей. Как долго продолжался этот эксперимент, я не знаю, но в конце концов его похерили.

Думаю, к теории категорий высших порядков эта история никакого отношения не имеет. Прочитав статью, я просто стал фантазировать: рано или поздно новый подход обзаведётся арсеналом упрощенных учебных представлений, объяснений, иллюстраций, моделей; будут разработаны учебные программы сначала для докторантуры, потом для студентов; и в конце концов второклассникам задачи про три яблока станут задавать на языке бесконечных категорий Лурье.

прошу прощения у авва если это офтоп но :) не могу промолчать ! Подтверждаю ! Учился детишком именно по Колмогорову в далёком городке и конгруэнтость совсем не напрягала ! Даже помогала ! Там было подобие фигур, ну то есть проективное отображение и группа 3D перемщений сохраняющая метрику и ориентацию- конгруэнтность. Причем с зеркальными отображениями фигуры конгруэнтыми не называли. Хорошая классификация. .. И интегралы для подсчёта объемов не напрягали и элементы аналитической геометрии были очень приятные и производные чудесно помогали всякие запутанные графики рациональных функций строить. Вот да.. сломался я на формальном определении последовательностей и предела.. со страху даже геометрические прогрессии не прочитал. Но на мехмате потом всё разобъяснили а про геометрическую прогрессию даже статью для инженеров нацарапал из озорства и в знак благодарности Колмогорову за счастливые часы детства. Так что, пусть.. и категорий где-нибудь в старших классах по-объясняют чуток !

Есть (∞,1)-категории, которые, в основном, и использует Лури.
Реже у него встречаются (∞,2).
Можно ли их объяснить просто, я не знаю.
Но видимо, поднимать симплициальную науку придётся.
Может быть, через глобулярное можно, так будет немного проще, только использовать это глобулярное мало, где можно...

А про n-категории "вообще", видимо, нет более простого, чем
http://eugeniacheng.com/wp-content/uploads/2017/02/cheng-lauda-guidebook.pdf
Там только в главе про категории по May обшибка.
И в дальнейших статьях (где обшибку исправили), они называли их Trimble-like.

Более серьёзно это изложено в уже классическом труде Лейнстера —
https://arxiv.org/abs/math/0305049
Там много интересных конструкций.

Кстати, Ченг ведь преподает ТК каким-то отпетым гуманитариям в School of the Art Institute of Chicago. Я и подумал, у нее должно же быть популярное введение в предмет для ландшафтных художников? И точно, вот оно:

http://eugeniacheng.com/wp-content/uploads/2017/02/cheng-architecture.pdf

У человека впереди все больше вычислений с преобразованием и сопоставлением множеств. Как сравнить поведение двух сложных объектов, многомерных фигур, участков эволюции в миллион лет? Как предсказать ход вычислительного процесса самообучающейся нейронной сети, или рождение мысли в совокупной работе миллионов нейронов? Гомеоморфизм, теория множеств, теория игр, как раз начало этого пути. Infinite Towers of Equivalence