?

Log in

No account? Create an account
По делам сюда приплыл, а не за этим [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

произведения [окт. 20, 2019|10:35 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|, ]

Красивая задачка от Тани Ховановой. Тяжелее, чем кажется на первый взгляд.

Учитель написал на доске четыре положительных числа и дал задание ученикам вычислить произведение любых двух из них. Из шести возможных пар ученики вычислили только пять произведений, и результаты оказались: 2, 3, 4, 5, 6. Какое произведение осталось невычисленным? Какие четыре числа были написаны на доске?

Update: все комментарии открыты, в них есть много правильных решений, всем спасибо.
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 4
<<[1] [2] [3] [4] >>
[User Picture]From: lj_frank_bot
2019-10-20 07:37 am
Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Образование.
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-10-20 08:23 am
Хоть на первый, хоть на второй, одинаково. Не хватает 12/5. Исходные числа x, 2x, 2/x и 3/x, где x - корень из 5/2 или из 6/5.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-10-20 08:29 am
Пусть a<=b<=c<=d. Тогда ab<=ac<={ad,bc}<=bd<=cd, `тем самым, имеется 6 возможных цепочек длины 5.

1. Пропущено ad либо bc. Тогда первая пара ответов должна быть в том же отношении, что и последняя, что неверно.

2. Пропущено ab. Тогда в первой четверке ответов должны быть две пары с одинаковым отношением, что неверно.

3. Пропущено cd. Тогда в последней четверке ответов должны быть две пары с одинаковым отношением, что неверно.

4. Пропущено ac. Тогда в четверке 2 3 4 6 должны быть две пары с одинаковым соотношением. Есть два таких варианта:

1) ab=2, ad=3, bc=4, bd=5, cd=6 => b^2=10/3, a=2/b, c=4/b, d=3b/2, пропущено 2.4.

2) ab=2, bc=3, ad=4, bd=5, cd=6 => b^2=5/2, a=2/b, c=3/b, d=2b, пропущено 2.4.

5. Пропущено bd. Тогда в четверке 2 4 5 6 должны быть две пары с одинаковым соотношением, что неверно.
(Ответить) (Thread)
From: urease
2019-10-21 06:43 pm
В точности мой подход
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: p_k
2019-10-20 08:42 am
Одно из пяти парных произведений отличается от других тем, что произведение комплементарной пары отсутствует. Тогда оставшиеся четыре можно разбить на пары, дающие равные произведения (равные произведению четырех неизвестных чисел). Очевидно, что 5 не может входить в эти пары. Таким образом, произведение четырех неизвестных чисел равно 12=2*6=4*3. Неизвестное шестое произведение равно, соответственно, 12/5. Существует два способа выбрать между какими числами пар произведение равно 5, соответственно получается два решения:

sqrt(8/5), sqrt(10), sqrt(5/2), sqrt(18/5)

и

sqrt(10/3), sqrt(24/5), sqrt(6/5), sqrt(15/2)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: Michael Hasidovsky
2019-10-20 09:00 am

Спасибо

Пропущено 2.4, написаны
либо sqrt(8/5), sqrt(5/2), sqrt(18/5), sqrt(10),
либо sqrt(6/5), sqrt(10/3), sqrt(24/5), sqrt(15/2).
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: varana
2019-10-20 09:25 am
Числа были разные?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: timur0
2019-10-20 09:26 am
Произведение это просто - 12/5.
Посчитать числа в уме не могу, а бумагу брать лень.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2019-10-20 09:53 am
Квадратные корни из: 6/5, 10/3, 24/5, 15/2.

6/5 * 10/3 = 4 = 2^2
6/5 * 24/5 = 144/25 = (12/5)^2; 12/5 - недостающее произведение
6/5 * 15/2 = 9 = 3^2
10/3 * 24/5 = 16 = 4^2
10/3 * 15/2 = 25 = 5^2
24/5 * 15/2 = 36 = 6^2
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: moon_aka_sun
2019-10-20 09:55 am
2.4; √10, 5/√10, 6/√10, 4/√10
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ltz
2019-10-20 10:01 am
2.4
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: livelight
2019-10-20 10:24 am
Целых?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: utnapishti
2019-10-20 10:49 am
Допустим, загаданные числа a, b, c, d.
Шесть попарных произведний этих чисел можно разбить на три пары, произведения элементов которых равны: (ab и cd), (ac и bd), (ad и bc).
То есть среди данных нам пяти чисел обязаны быть две пары с равными произведениями.
Легко видеть, что повторяющееся произведение - только 12 (2*6 и 3*4).
Поэтому abcd = 12.
Отсюда сразу: шестое попарное произведение загаданных чисел - 12/5.

Теперь найдём все комбинации, в которых данные шесть чисел являются попарными произведениями a, b, c, d.
Без ограничения общности ab=2, а также bc=3 (пусть b это тот из a, b, кто с кем-то в паре даёт 3, и пусть этот кто-то c).
Тогда: ab=2, bc=3, cd=6, ad=4.
Для ac и bd два варианта: (1) ac=5, bd=12/5, (2) наоборот, ac=12/5, bd=5.

В первом случае перемножим ab, bc, ac, получим abc, отсюда сразу d (т.к. abcd=12), ну и всех остальных:
(ab)*(bc)*(ac)=a^2*b^2*c^2=30, abc=sqrt(30), d=12/sqrt(30)=(2/5)*sqrt(30), a=(1/3)*sqrt(30), b=(1/5)*sqrt(30), c=(1/2)*sqrt(30).

Во втором перемножим ab, ad, bd (просто потому что числа "проще").
(ab)*(ad)*(bd)=a^2*b^2*d^2=40, abd=sqrt(40), c=12/sqrt(40)=6/sqrt(10)=(3/5)*sqrt(10), a=(2/5)*sqrt(10), b=(1/2)*sqrt(10), d=sqrt(10).
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: mathim
2019-10-20 11:02 am
square roots of 8/5, 18/5, 5/2, and 10.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kvqa
2019-10-20 11:48 am
12/5
Все произведения 2х чисел делятся на пары - если перемножить два произведения из одной пары, получится произведение всех чисел на доске. Произведений насчитали 5 штук, значит 2 пары у нас должны быть. Руками перемножаем и ищем одинаковые, получаем 12 = 3*4 = 2*6, а больше нет. Без пары осталось 5, произведение всех 12, отсюда ответ.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: randomisator
2019-10-20 12:18 pm
Не так уж сложно, если заметить, что вся шестёрка произведений разбивается на три пары, произведения которых равны между собой.

Невычисленным осталось 12/5

Числа:
sqrt(5/2)
2*sqrt(5/2)
2*sqrt(2/5)
3*sqrt(2/5)

Edited at 2019-10-20 12:19 (UTC)
(Ответить) (Thread)
Страница 1 из 4
<<[1] [2] [3] [4] >>