Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

задачка про кубики

Вот любопытный вопрос, который заставляет думать про вероятности и проверять свою интуицию там.

Алиса бросает обычный кубик (игральную кость), пока у нее не выпадут подряд числа 4,5,6, и после этого останавливается. Боб бросает такой же кубик, пока у него не выпадут подряд 6,6,6, и останавливается. Кто из них в среднем сделает меньше бросков? Желательно обосновать свой ответ.

Я не буду скрывать комментарии - не заглядывайте, если хотите сами подумать. Строгое доказательство требует определенных знаний в теории вероятности, но для интуитивный аргумент может обойтись и без них, мне кажется.

Если вы математик или сочувствующий и хотите еще, то два бонус-вопроса:

1. Чему равно ожидание количества бросков для Алисы и для Боба?
2. Те же вопросы про последовательности 5,5,6 и 5,6,5.


P.S. За вопрос спасибо юзеру utnapishti. Это было из личного общения, а не из его журнала, но в его журнале тоже много интересного.
Tags: задачки, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 112 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
В среднем - одинаково. Ну там с оговорками про идеальный кубик и идеальные броски. Вероятность выпадения любой цифры одинакова и не зависит от предыдущих бросков.
В числах ожидание сказать не могу, не математик.
Вероятность любого значения одинакова - 1/6.

С последовательностями значений немного иначе.

Алисе надо 4-5-6, она кидает 4 с вероятностью 1/6.
Бобу надо 6-6-6, он кидает 6 с вероятностью 1/6, одинаково.

Теперь Алисе подходит или 5, чтобы продолжить последовательность, или 4, чтобы ее перезапустить, вероятность - 1/3
Бобу подходит только 6, вероятность - 1/6.

Проклятый матриархат, снова мужиков обижают

keytaro_kun

8 months ago

melkiythegreat

8 months ago

cryinstone

8 months ago

Странно... Не могу понять, почему вероятности должны быть разными?
циклы! здесь есть циклы.
Вероятности, конечно, будут разными. Этот вывод можно сделать даже еще не начиная вычисления этих вероятностей. Вывод следует из того, что задающий вопрос и обладающий послезнанием задает бонус-вопрос знатокам математики про последовательности 5,5,6 и 5,6,5, что не имело бы смысла делать, будь вероятности 4,5,6 и 6,6,6 одинаковыми.

Anonymous

February 14 2020, 07:23:02 UTC 8 months ago

имело бы, чтоб обманyть

vba_

8 months ago

avva

8 months ago

Отличие в вероятности я вижу только для 5,5,6 где третий бросок может быть не только подходящим (6) или не подходящим (1,2,3,4) но и продолжающим последовательность (5).

relf

February 13 2020, 12:58:54 UTC 8 months ago Edited:  February 13 2020, 13:12:04 UTC

Ещё ж в Кванте было: http://kvant.mccme.ru/1987/05/luchshee_pari_dlya_prostakov.htm
См. формулу Конвея в Задаче 1.

О, спасибо! Не сомневался, что задача старая и известная, но отличная древняя статья, с удовольствием прочитаю.
В среднем одинаково, 216 бросков

Anonymous

February 15 2020, 09:08:12 UTC 8 months ago

Алиса ~216
Боб   ~260
556   ~217
565   ~223
Да, я читил моделированием.
Ээээ. Алиса в среднем будет кидать меньше. Потому что у Боба при первой/двух шестерках, не выпадение шестерки автоматически обнуляет счётчик удачных бросков. Тогда как у Алисы при неудачном броске с вероятностью 1/5 счётчик удачных бросков станет 1.

Anonymous

February 13 2020, 13:52:58 UTC 8 months ago

Га? Убнуляет? Шо оно там убнуляет?

А то шо у Алисты целевые 3 цыфры должны выпась в строго определеном порятке, а у Боба можна шоб они выпали в любом потому как взаимозаменяемы, это ты считаешь шо похуй?

fyvaproldzhe

8 months ago

моделирование дало равные результаты 167.7
Неправильно, значит, моделировали. У меня первая мысль тоже была, что одинаково должно быть, проверил — 216 и 258 (на 1000000 серий). Вот код:
https://rextester.com/QSR11410

levtsn

8 months ago

Илья Цыгвинцев

8 months ago

levtsn

8 months ago

levtsn

8 months ago

В серии из 10 000 испытаний среднее количество бросков у Алисы 214, у Боба 256.
Очень близко к истинным значениям :)
(216 и 258).
Интуитивно 4,5,6 выпадет быстрее.
У вас хорошая интуиция!

monte_parasite

8 months ago

thxbye

February 13 2020, 13:23:10 UTC 8 months ago Edited:  February 13 2020, 13:23:51 UTC

Чисто интуитивно: Бобу нужно выбросить 3 числа в любой последовательности; Алисе — столько же чисел в определённой последовательности.

Anonymous

February 13 2020, 13:59:37 UTC 8 months ago

Наоборот, потому шо какая разнится какая там последовательстность? Вероятность выпадения любой заданой цыфры все равно каждый раз оденакова независимо оттого шо это бля за цыфра.

Anonymous

February 13 2020, 13:24:18 UTC 8 months ago

Боб упертый, конкретный - если не получилось - так уж не получилось. Алиса настроена более философски - иногда неудача тоже может привести к чему-нибудь интересненькому )

Anonymous

February 13 2020, 13:26:17 UTC 8 months ago

6-6-6 медленнее, чем 4-5-6, из-за рестарта.

Если не ошибся, 6-6-6 имеет 298 в мат.ожидании, 4-5-6 считать лень, то точно меньше, чем 298.

Но как считать понятно, шаблонная задачка про марковскую цепь с конечным числом состояний. Которая сводится либо к решению системы линейных уравнений, либо к поиску степени, в которой матрица стабилизируется.
Цепи, системы - верно, но в ответе - ошибка, должно быть 258 и 216.

Anonymous

8 months ago

marat_yuldashev

8 months ago

Anonymous

8 months ago

Anonymous

8 months ago

Anonymous

February 13 2020, 13:36:51 UTC 8 months ago

Старая известная задача. Первым был некий Соловьев в 1966. грубо говоря, чем больше overlappings у паттерна с самим собой, когда вы его надвигаете на себя сзади, тем дольше придется ждать. Например, 565, в среднем, придется ждать дольше, чем 556. Погуглите также Penney’s Game. Еще удивительней. Transitivity нету! В одной случайной реализации орлов и решек, вероятность появления HHTHH before HTHHT >.5, HTHHT before THHTH >.5, но HHTHH before THHTH <.5!
О, нарушение транзитивности это всегда круто. Спасибо, почитаю!

Anonymous

8 months ago

avva

8 months ago

Anonymous

8 months ago

avva

8 months ago

Anonymous

8 months ago

efimpp

8 months ago

Anonymous

8 months ago

efimpp

8 months ago

Anonymous

8 months ago

fyvaproldzhe

8 months ago

Anonymous

8 months ago

fyvaproldzhe

8 months ago

Anonymous

8 months ago

fyvaproldzhe

8 months ago

Anonymous

8 months ago

fyvaproldzhe

8 months ago

Anonymous

8 months ago

fyvaproldzhe

8 months ago

Anonymous

8 months ago

fyvaproldzhe

8 months ago

fyvaproldzhe

8 months ago

А так - ввести понятие "счётчик успешных предыдущих бросков", нарисовать марковскую матрицу 4х4 для 4х случаев и посчитать мат ожидание. Заодно станет понятно, почему 654 сильно отличается от 666

Anonymous

February 13 2020, 15:27:30 UTC 8 months ago

Тоже красивое решение. Markov chain embedding называется. Посчитать, сколько марковской цепи понадобится времени, чтобы достингнуть absorbing state -- стандартная задача из учебника.
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →