Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

о симметрии

Вот задача с математического командного турнира старшеклассников:

Кузнечик совершил три прыжка по плоскости. Его первый прыжок – на 1 м, второй – на 2 м, третий – на 4 м. Найдите фигуру, образованную всеми точками плоскости, до которых кузнечик сможет, начиная с данной точки, допрыгать за 3 описанных прыжка.

(источник, как часто в последнее время - прекрасное ФБ-сообщество К.Кнопа).

Если хотите решить сами, остановитесь здесь и не читайте дальше, я буду обсуждать решение.

===============


Мне понравилось в одном из предложенных решений, как соображения симметрии немедленно приводят от условий задачи к практически готовому ответу, в котором только нужно некоторые детали прояснить.

Предложенное решение начинается так: "Поскольку задача симметрична, то ответом будет кольцо". Мне кажется очень красивой ёмкость этого краткого утверждения - оно может служить прекрасной "рекламой" силы симметрии. При этом само утверждение не сложное - математикам оно понятно без дальнейших объяснений, но и простые смертные вроде нас могут разобраться.

Действительно, если мы представим себе луч, выходящий в каком-то направлении из начальной точки, то достаточно разобраться, до каких точек на этом луче кузнечик сможет допрыгнуть за 3 прыжка данных длин. Если мы знаем все возможные конечные точки на луче, то теперь вращением всей плоскости вокруг начальной точки мы получаем "бесплатно" на всех остальных лучах, и таким образом на всей плоскости.

Кроме того, если до двух разных точек А и Б на луче кузнечик может допрыгнуть, то он сможет допрыгнуть и до любой точки между ними (не может быть 'разрывов' между А и Б). Ну это потому, например, что от прыжков к А можно плавно перейти к прыжкам к Б (все время чуть-чуть варьируя угол первого прыжка, пока он не совпадет, потом второго...) и тогда конечная точка этих прыжков плавно переместится от А к Б, проходя сквозь все точки посредине.

Значит, набор всех точек, до которых можно допрыгнуть на луче - это какой-то отрезок. А вращая этот отрезок, чтобы получить набор на всех лучах, как раз и получаем кольцо.

Для того, чтобы быстро доказать, *какое именно* это кольцо, можно воспользоваться еще одним видом симметрии - на этот раз симметрией по времени.

Представим себе, что кузнечик прыгает от конечной точки к начальной, т.е прокрутим видео прыжков назад во времени. Сначала 4 метра, потом 2, потом 1. До какого расстояния от конечной точки он сможет допрыгнуть? В такой формулировке очевидно, что самое большое расстояние - 7 метров (продолжает прыгать 2 и 1 в том же направлении, что 4), самое маленькое - 1 метр (возвращается 2 и 1 в обратном направлении от 4).

Значит, ответ - кольцо между окружностями радиусов 1 и 7 метров вокруг начальной точки.

Если хочется убедиться явно (а не по теоретическому аргументу выше), что до любого расстояния между 1 и 7 метрами можно допрыгнуть, достаточно посмотреть - все еще двигаясь назад во времени, начиная с 4 метров - на прыжки в 2 и 1 метра в одном направлении, т.е. будто это один прыжок в 3 метра. Варьируя его угол относительно прыжка в 4, мы увидим, что начальная точка описывает полукруг, соединяющий прыжок на 7 и прыжок на 1. Очевидно, расстояние до конечной по мере прохождения полукруга покрывает все возможные числа между 1 и 7. См. приложенный рисунок.

Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 70 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →