Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

теория вероятности и тревожность

У меня есть простой трюк для решения многих вопросов или задач, связанных с вероятностью. Я всегда стараюсь в первую очередь найти равновероятностное распределение, а потом просто отсекать от него неподходящие случаи. В таком подходе вероятность превращается в комбинаторику. Попробую объяснить подробнее, что я имею в виду.

Предположим, есть вопрос вида "Происходят разные события, которые включают в себя случайные события. Про то, что случилось до сих пор, известно то-то и то-то. Какова вероятность, что теперь случится так-то и так-то?"

Вот пример задачи такого рода, недавно всплывшей в сообществе в фейсбуке для математических задачек:

Среди шести яблок - 2 нормальных и 4 отравленных. Вы умрёте, если съедите два отравленных яблока.
Вы уже съели 2 яблока и пока еще живы.
Каковы шансы остаться в живых, если вы съедите третье яблоко?

(не читайте дальше, если хотите решить самостоятельно - сначала попробуйте решить)

Интересно, что на задачу пришло примерно 20 комментариев с ответами, из них примерно 12 верных ответов. Но ни одно из верных решений не было таким, как мое. Возможно, мой подход не так очевиден, как я полагал.

Так вот, в данном случае мой подход - это найти равновероятностное распределение, которое заведомо включает в себя всю нужную информацию о задаче. Если у нас есть шесть яблок, их можно пронумеровать от 1 до 6 и представить себе, что мы едим их обязательно в определенном порядке, который выбран случайно. Всего таких порядков есть 6! = 720. Пусть два нормальных яблока имеют номера 1,2, а остальные отравленные.

Теперь надо найти, какие из 720 порядков соответствуют условию задачи: "вы уже съели 2 яблока и пока еще живы". Легко видеть, что это все порядки, которые начинаются с двух нормальных яблок (и таких 48: надо выбрать, 1 2 или 2 1, и порядок остальных четырех), или с одного нормального и одного отравленного (на каком месте из первых двух нормальное (2), какое это из двух нормальных (2), на каком из четырех мест второе нормальное (4), какой порядок отравленных (4!=24), всего 2*2*4*24=384 варианта). Наконец, из этих 384+48=432 порядков сколько оставляют нас в живых после третьего яблока? Это очевидно, все 48 из "первые два хороших", и 384/4=96 из второй группы, потому что второе нормальное яблоко должно быть именно на третьем месте, а не на любом из четырех оставшихся. Итого 48+96=144 исхода из 432, и шансы остаться в живых равны 144/432=1/3.

Может быть, это муторно, может, много вычислений (я это все проделал в уме, не так уж сложно). Но это просто, понятно, не надо задумываться над сложными вопросами и искать подвохов. Вероятность превратилась в комбинаторику.

Когда я написал все это, К.Кноп совершенно справедливо заметил мне, что я считаю очень много лишнего, потому что вместо "выбрать одну из 6! перестановок шести яблок" можно было просто взять "выбрать один из вариантов расставить два "плохих" яблока на шести местах". Можно легко посчитать, что таких вариантов есть 15, из них 9 проходят проверку на "мы остались живы", 3 из этих 9 "хорошие", и ответ опять 1/3 Тем не менее, мне больше нравится мой подход. Посчитать 3/9 куда проще, чем 144/432, это верно. Но для этого нужно быть уверенным, что "выбрать два плохих места" это равновероятностное распределение и что оно совершенно точно включает в себя всю нужную информацию для решения задачи. Это действительно так в данном случае, но требует обдумывания, вместе с обдумыванием приходят неуверенность и тревожность.

Начиная с самого простого, можно сказать идиотски-простого, распределения из 6! перестановок, я избегаю тревожности и сохраняю спокойствие и оптимизм. То же самое касается решений через формулу полной вероятности. Можно вычислить вероятность получить первые два нормальных, или одно из первых двух нормальное, и потом по формуле полной вероятности дойти до результата. Но это требует обдумывания, пересчета вероятности "два нормальных" в свете условного события "остались живы", и всякой такой тревожности, связанной с этим. А с перестановками все просто. Скучно, зато просто.
Tags: математика
Subscribe

  • о сумме ряда и экспоненциальной функции

    (эта запись может быть интересна математикам и сочувствующим) Меня заинтересовало недавнее видео Майкла Пенна, в котором он показывает, чему равен…

  • о бесконечно малых

    Начну с цитаты: "У меня внутри поднялась настоящая буря: "Ах, вот оно что! — пронеслось у меня, — нас, маленьких, учат одному, а сами-то взрослые,…

  • де морган и тангенс бесконечности

    Шейнин в своей "Черной книге" пишет об Августе де Моргане (английский математик и логик 19 века, имя которого живет в "законах де Моргана" в логике):…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 105 comments

  • о сумме ряда и экспоненциальной функции

    (эта запись может быть интересна математикам и сочувствующим) Меня заинтересовало недавнее видео Майкла Пенна, в котором он показывает, чему равен…

  • о бесконечно малых

    Начну с цитаты: "У меня внутри поднялась настоящая буря: "Ах, вот оно что! — пронеслось у меня, — нас, маленьких, учат одному, а сами-то взрослые,…

  • де морган и тангенс бесконечности

    Шейнин в своей "Черной книге" пишет об Августе де Моргане (английский математик и логик 19 века, имя которого живет в "законах де Моргана" в логике):…