Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

нормальные герои всегда идут в обход или новый обход парадокса Расселла

Чрезвычайно интересное письмо Харви Фридмана на рассылке FOM (Foundations of Mathematics). Фридман анонсирует свой новый результат -- "естественную" формальную систему для теории множеств, эквивалентную существованию некоторого класса больших кардиналов в ZFC.


Несколько упрощая и сокращая, историю schema of comprehension (назову её схемой охвата; если кто-то знает "официальное" русское название, подскажите) можно представить так. В конце прошлого века Фреге придумал простой и удобный метод формализовать теорию множеств, которую в свою очередь можно рассматривать в качестве формального фундамента всей (почти) современной математики -- а построение такого фундамента как раз и было одной из главных задач математической логики на рубеже веков и в первой половине 20-го века.

(на самом деле Фреге формализовал не теорию множеств, а теорию типов -- но его результаты потом использовались для теории множеств, и когда обнаружилось, как легко с помощью множеств формализуется вся математика, теории типов потеряли почти всю свою притягатлеьность)

Так вот. Теорию множеств можно очень легко и красиво формализовать при помощи всего нескольких аксиом, из которой главной является схема охвата (а остальные одну или две я упоминать не буду). Она гласит, что любому свойству соответствует множество всех множеств, имеющих это свойство. Эта схема позволяет очень легко строить разнообразные множества, обладающие нужными характеристиками. Нужно пустое множество? Рассмотрим свойство "x не равно x". Согласно схеме охвата, существует множество, содержащее все множества x, такие, что x не равно x. Но таких x не существует, следовательно, это множество - пустое. Нужно объединение двух множеств a и b? Смотрим на свойство "быть членом a или быть членом b" и получаем по схеме охвата множество всех таких членов, что и есть объединение a и b. И так далее, и тому подобное.

В 1902-м году, однако, Бертранд Расселл доказал, что схема охвата приводит к противоречивой теории. Рассмотрим свойство "не быть членом самого себя", и пусть X, согласно схеме охвата, будет множеством всех множеств, которые не являются членами самих себя. Если само множество X является членом самого себя, то, по своему же определению, оно не является членом самого себя. Если же оно не является членом самого себя, то опять по его же определению, оно - одно из тех множеств, которые составляют X. Получаем противоречие: X не может ни быть членом самого себя, ни не быть членом самого себя. Это - знаменитый парадокс Расселла.

Парадокс Расселла был жестоким ударом для Фреге и его теории; он также принёс Расселлу всемирную известность в кругах математиков и логиков. В течение следующих нескольких десятилетий математики исследовали разные способы избавиться от парадокса Расселла (и других найденных вскоре после него парадоксов), сохранив вместе с тем концептуальную ясность и огромную объединяющую силу, которая, как оказалось, присуща теории множеств и позволяет использовать её в качестве формального фундамента для всей математики. В конце концов это дело разрешили следующим образом. Схема охвата, решили логики и математики, слишком сильна, она даёт слишком неограниченные возможности по построению множеств, в частности, она даёт построить слишком "большие" (в некотором неформальном, интуитивном смысле) множества. Такие объекты, как коллекция всех множеств, не являющихся членами самих себя -- коллекция Расселла -- или, например, коллекция всех множеств вообще, слишком "велики" и их не следует считать множествами вообще. Если коллекция Расселла не является сама множеством, то парадокс исчезает, в чём легко убедиться. Нужны, таким образом, другие аксиомы вместо схемы охвата, которые ограничивали бы наши возможности по построению множеств, не давали бы нам строить слишком "большие", парадоксальные множества.

Такие наборы аксиом были построены; самый известный и широко используемый из них -- система аксиом ZFC (по инициалам математиков, сыгравших роль в её формулировке: Zermelo-Fraenkel, а буква C означает аксиому выбора (Choice)). Место схемы охвата в ZFC или других схожих с ней аксиоматических теориях занимает горсть аксиом, позволяющих в основном строить множества "снизу вверх". Например, аксиома пары гласит, что если есть множества a и b, то есть и множество {a,b}, состоящее из них обоих; аксиома объединения позволяет строить объединение набора множеств и считать его тоже множеством; итп. Только аксиома выбора позволяет в каком-то смысле взять множество "из ничего", не скомбинировав точно определённым образом уже существующие - но и в ней "размер" получающегося множества строго ограничен.

Таким образом, вместо схемы охвата, позволяющей строить множества по мановению руки, с любыми свойствами, откуда ни возьмись, принятый в наше время подход относится ко всему подозрительно и требует специальной строгой проверки, прежде чем назвать что-то "множеством".
Таким образом мы избегаем (надеемся, что избегаем) "парадоксальных" множеств, подобных Расселовскому.

Результат Фридмана интересен тем, что он возвращается к схеме охвата, и только немного её модифицирует, ослабляет её некоторым образом (технические подробности есть в пролинкованном письме Фридмана). В предлагаемой им теории можно опять выбросить скучные, "осторожные" аксиомы, строящие всё по ступенькам, и пользоваться столь удобной схемой охвата (хоть и ограниченной новым условием -- не знаю, насколько подходящей для действительного использования на практике при изучении теории множеств окажется система Фридмана -- допускаю, что окажется неподходящей, но всё равно результат очень интересен). Кроме того, построенная таким образом теория оказывается сильнее ZFC и эквивалентной ZFC, усиленной утверждением о существовании некоторого класса больших кардиналов. Что такое большие кардиналы и чем они важны я уже не надеюсь здесь объяснить - но скажу вкратце, что аксиомы о существовании больших кардиналов во многом являются следующим логическом шагом для пополнения теории множеств новыми аксиомами; проблема в том, что в отличие от всех других аксиом теории множеств они очень далеки от обычной математической практики, и среднему математику совершенно непонятно, зачем и как и кому они нужны. Фридман, который убеждён в том, что несмотря на свою кажущуся эзотеричность (с точки зрения обычной "рабочей" математики) аксиомы больших кардиналов очень важны и следует внедрять их понимание в математические массы, уже много лет работает над нахождением "естественных" с точки зрения обычной математики задач, которые оказываются нерешаемы в рамках ZFC и требуют для их решения каких-нибудь дополнительных аксиом о больших кардиналах. У него на этом пути есть весьма интересные результаты, хотя настоящей своей цели он пока не добился. А этот результат, если он верен, показывает прямую связь между "эзотеричной" аксиомой о существовании больших кардиналов (одной из множества таких аксиом) и довольно-таки "естественной" и интересной новой аксиоматической формулировкой теории множеств, опирающейся на "переработанную" схему охвата.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 13 comments