Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

ещё о спящей красавице

В этой записи я продолжу тему о парадоксе спящей красавицы, начатую вчера. Я бы хотел сделать следующее: во-первых, подытожить (с моей точки зрения) дискуссию до сих пор; во-вторых, дать ссылки на сетевые дискуссии и научные статьи по этому поводу, для тех, кому это интересно; в-третьих, объяснить, почему, хотя я считаю себя "троечником", эта позиция вовсе не так тривиально верна, как кажется многим во вчерашней дискуссии; в-четвёртых, привязать это к объяснению основных идей из статей пункта второго.

Те, кому это всё интересно - пожалуйте в элжекат. Все комментарии и дальнейшее обсуждение приветствуются.



1. Дискуссия.

Большинство прореагировавших на вчерашнюю запись считают себя троечниками. Но есть и те, кто считает себя двоечниками. Более того, нетривиальное количество людей высказались таким образом, что это вообще всё тривиально, а путаница возникает из-за непонимания того, что спрашивают итп. Я с этим совершенно не согласен, и попытался в той дискуссии подробно ответить на такие утверждения. На мой взгляд, это не тривиальная задача. Я не вижу пока что ни одного убедительного аргумента в пользу её тривиальности. Просто сказать, что люди "не понимают" того, что спрашивается в задаче, и отвечают на неверный вопрос - не значит это доказать. Я подробно описал в дискусии к прошлой записи, почему это неверно, с моей точки зрения.

Возникают вопросы о том, что такое "степень уверенности", она же "субъективная вероятность" Лены в том, что выпал орёл. Это понятие можно определять по-разному, есть разные философские школы внутри философии вероятности, которые по-разному к этому относятся. Но это не значит, что данное понятие не имеет смысла!

Один из возможных способов понять субъективную вероятность: субъективная вероятность Лены в том, что произошло событие X, равна вероятности того, что произошло событие X при условии всей той информации, которой владеет Лена. Например, предположим, что Лена и Гена кидают монетку, но Лена увидела, что она выпала орлом, а Гена не увидел. Субъективная вероятность выпадения орла для Лены равна 1, а для Гены - 1/2. Потому она и неравна у них, что субъективна! Опять повторю: все протесты по поводу того, что Лена должна ответить 1/2, т.к. её спрашивают о вероятности выпадения орла, равной по определению 1/2 - ошибочны. Её спрашивают о вероятности выпадения орла учитывая известную ей информацию (по крайней мере в этой интерпретации понятия "субъективная вероятность").

Можно попробовать понять субъективную вероятность по-другому, например, частотным способом: проведём эксперимент много раз так, чтобы выполнялись все факты, известные Лене, и подсчитаем частоту в пределе. Но неверно заключить из такого метода, что тривиальным является ответ 1/3! (как многие заключили). Об этом подробнее см. ниже, в пункте третьем.

После прочтения множества "интуитивных" аргументов за "двоечников" и за "троечников" для меня наиболее интересными остаются два из них. С одной стороны, я не уверен в том, как ответить на этот "двоечный" аргумент (хотя см. пункт 3 ниже). С другой стороны, интуитивный аргумент путём подсчёта множества пробуждений мне кажется самым убедительным для точки зрения "троечника" (но, как упомянуто выше, в пункте 3 ниже я постараюсь объяснить, почему он сам по себе недостаточен, т.е. требует уточнения и формализации).

2. Источники.

Во-первых, на этой странице расположены выдержки из долгой дискуссии про спящую красавицу в ньюсгруппе rec.puzzles три года назад. Там есть немало интересных "интуитивных" аргументов как за двоечников, так и за троечников, а также около дюжины попыток изменить условия эксперимента и посмотреть, что получится, рассмотреть схожие парадоксы итд. итп. Всё это довольно интересно, но я не буду пытаться это суммаризовать. Те, кому любопытно, могут сходить и прочесть.

Ещё более интересными мне кажутся научные (философские) статьи на данную тему, в которых сделана попытка более строго, чем в "интуитивных" аргументах, доказать одну из двух позиций, а также вообще строго определить и изучить проблему. Таких статей я знаю три. Первая из них есть в сети; второй и третьей статьи в открытом доступе для всех не было, поэтому я их взял из закрытого доступа и положил у себя в формате PDF -- те, кто хотят, берите и читайте.


Во-первых, статья Адама Эльги, в открытом доступе, из журнала Analysis за 2000-й год. Эльга - "троечник", стремящийся строго обосновать свой результат. Основные его идеи я постараюсь перечислись в пункте 4 ниже, но вообще-то статья очень ясно написана и заслуживает прочтения.

Во-вторых, ответ Льюиса на статью Эльги (Льюис - очень известный философ). Льюис - двоечник! Он очень интересно отстаивает свою точку зрения. Я не буду пересказывать эту статью, но постараюсь во время пересказа аргумента Эльги указать, в каком месте Льюис с ним не согласен.

В третьих, ответ Дорра на статью Льюиса. Дорр - троечник, и он защищает точку зрения Эльги, используя несколько другую аргументацию. Кроме того, он очень ясно и убедительно показывает, в чём именно заключается "парадоксальность" всей задачи и как двоечники и троечники по-разному эту парадоксальность "решают". Это я постараюсь объяснить, см. ниже.

Буду благодарен, если мне сообщат какие-то интересные источники, к-е я упустил.

3. Аргумент о нетривиальности.

Этот аргумент предназначен в первую очередь "наивным троечникам", которые говорят: давайте просто проведём эксперимент много раз, из всех пробуждений подсчитаем, сколько тех, что с орлом, поделим и получим 1/3. Аргумент стремится показать им, что не всё так просто, и что такое рассуждение требует дальнейшего уточнения и дополнения (пример которого можно, например, найти в статье Эльги или ниже в пункте 4).

Представьте себе, что мы изменили эксперимент: когда Лену будят во второй раз во вторник, ей говорят, что это вторник (и она заранее знает, что ей об этом скажут). Тогда очевидно, что когда её будят в понедельник, она знает, что это не вторник, и поэтому её ответ - 1/2. Т.е. в таком случае мы из троечников превращаемся в двоечников. Но что мешает нам повторить и в этом случае тот же аргумент: давайте проведём эксперимент очень много раз, из всех пробуждений ровно треть будет приходиться на орла, поэтому Лене надо ответить 1/3? А вот что нам мешает: тот факт, что пробуждения в данном случае очевидно неравновероятные. Аргумент "от частотности" -- проведём эксперимент много раз, подсчитаем кол-во нравящихся нам исходов и поделим -
работает только в случае абсолютно равновероятных исходов.

Но тогда возникает вопрос: а действительно ли исходы равновероятны в первоначальном эксперименте? Троечники на это отвечают: конечно, да! Ведь в этом-то и суть: неважно, когда просыпается Лена и какая при этом выпала монета, у неё во всех случаях абсолютно одна и та же информация (благодаря медикаменту). Поэтому это абсолютно одинаковые исходы и все пробуждения "равны между собой".

Звучит логично (и собственно, я с этим согласен). Но: ведь с другой стороны, троечники игнорируют тот факт (являющийся очень важным для двоечников), что вероятность выпадения орла для Лены изменилась с воскресенья вечером на утро понедельника! (тот факт, что вероятность в воскресенье вечером для Лены была 1/2, мне представляется очевидным; несколько человек оспорили его в дискуссии к прошлой записи, и я попытался там эту очевидность подробнее объяснить). А ведь при этом, по крайней мере на первый взгляд, кол-во информации у неё нисколько не изменилось. Всё, что она сделал - это проспала одну ночь.

Таким образом, из двух "неприятных" возможностей надо выбрать одну. Первая "неприятная" возможность: вероятность выпадения орла для Лены могла измениться всего лишь оттого, что она пошла спать и проспала одну ночь, не получив при этом никакой новой информации, по крайней мере явно. Вторая "неприятная" возможность: вероятность выпадения орла может быть разной для Лены при разных пробуждениях, несмотря на то, что она при них обладает абсолютно идентичной информацией, по крайней мере на первый взгляд.

"Двоечники" отрицают первую возможность и потому приходят к ответу 1/2. "Троечники" отрицают вторую возможность и потому приходят к ответу 1/3. К чему я это веду? К тому, что "троечникам" не нужно обольщаться насчёт того, что их ответ тривиально верен благодаря анализу с множеством экспериментов. Если они так думают, то они обманывают себя, не осознавая того, что этот анализ опирается на отрицание второй "неприятной" возможности. Да, эту возможность отрицать логично, но ведь и первую отрицать тоже, казалось бы, логично! -- а "троечники" её неизбежно признают.

Поэтому более строгий анализ проблемы должен попытаться анализировать эти "неприятные" возможности и показать, например, что вторую из них отрицать совсем нелогично, а первую не так страшно, как кажется (это с точки зрения троечника), или наоборот. А можно ли избавиться от обеих неприятных возможностей вместе? Нет, нельзя! Это приводит к однозначному парадоксу; строгое доказательство см. в пункте 4. ниже. Поэтому можно сказать так: "парадокс спящей красавицы" состоит в том, что, принимая несколько вполне логичных утверждений о степени уверенности Лены, мы приходим к логическому противоречию. "Решение" парадокса состоит в том, чтобы отвергнуть одно из, казалось бы, логичных утверждений; при этом двоечники отвергают одно из них, а троечники - другое.

4. Анализ проблемы.

Собственно, не один, а два анализа. Первый анализ показывает, что если мы признаём и первую, и вторую "неприятные" возможности из предыдущего пункта, то неизбежно приходим к противоречию.
Второй продолжает предыдущий пункт и анализирует, на каких основаниях мы можем отвергнуть вторую "неприятную" возможность, но признать первую (или наоборот).

Итак, подойдём к этому чуть более строго. Если X - событие, обозначим через P(X) субъективную вероятность события X для Лены по состоянию на понедельник утром. Если X и Y - события, то P(X|Y) обозначает вероятность X при условии, что дано Y - "условная" вероятность.

Обозначим H (heads) - событие "выпал орёл", через T (tails) - событие "выпала решка". Позиция двоечника состоит в том, что P(H) = 1/2. Позиция троечника состоит в том, что P(H)=1/3.

Когда Лена просыпается в понедельник утром, с её точки зрения возможно одно из трёх событий:

(H1) выпал орёл и сейчас понедельник
(T1) выпала решка и сейчас понедельник
(T2) выпала решка и сейчас вторник

Ясно, что сумма их вероятностей вместе должна давать 1.
Более того, ясно, что P(H)=P(H1), т.к. если выпал орёл, то автоматически сейчас понедельник

(более строгое доказательство этого факта: согласно стандартным правилам манипулирования вероятностями, мы имеем: P(H) = P(H и понедельник) + P(H и не-понедельник). Но P(H и не-понедельник) равно 0, т.к. из того, что сейчас не-понедельник, следует, что выпала решка; а "H и понедельник" как раз и есть H1).

Обозначим через P* вероятность данного события для Лены в воскресенье вечером. Тогда понятно, что P*(H)=P*(T)=1/2.

Теперь мы можем описать в точных терминах две "неприятные возможности" третьего пункта:

1. P*(H) не равно P(H). Так считает троечник: для него P*(H)=1/2, а P(H)=1/3. Двоечник говорит: при переходе от P* к P Лена не приобрела абсолютно никакой новой информации и не потеряла никакой имеющейся (suffered no cognitive mishap, словами Эльги), поэтому вероятность H должна быть одинаковой для P* и P и равной 1/2 в обоих случаях.

2. Три возможных пробуждения: H1, T1 и T2 -- не равны по своим вероятностям P. Троечник счиает, что это абсурд, т.к. у Лены во всех трёх случаях абсолютно одинаковая информация, поэтому с точки зрения троечника P(H1)=P(T1)=P(T2). Т.к. в сумме они дают 1, мы получаем, что P(H1)=1/3, что и характеризует троечника. Этот аргумент и является той причиной, по которой троечник считает, что P(H)=1/3. "Интуитивный" аргумент с подсчитыванием множества пробуждений всего лишь упрощает "понимание" ответа для троечника -- этот аргумент опирается на предположение о том, что P(H1)=P(T1)=P(T2) (объяснение этого см. в пункте 3 выше).
Двоечник же считает эту неприятную возможность верной: с точки зрения двоечника P(H1)=1/2, поэтому вероятности всех трёх пробуждений не могут быть равны -- они тогда дали бы в сумме больше единицы.

Может ли одновременно быть неверной и первая, и вторая "неприятная" возможности? Нет, не могут: если первая неверна, то P(H)=P*(H)=1/2; если вторая к тому же неверна, то P(H1)=P(T1)=P(T2), но P(H1)=P(H)=1/2 и сумма P(H1)+P(T1)+P(T2) тогда выходит больше 1 - абсурд!

На этом я закончил первый анализ (немного другая его версия находится в статье Дорра). Теперь перейду ко второму: на основании чего может троечник отвергать вторую неприятную возможность и признавать первую? На основании чего может двоечник поступать наоборот?

Эльга, троечник, объясняет в своей статье, почему "вторая" возможность неверна, следующим образом. Он стремится доказать, что P(H1)=P(T1)=P(T2), т.е. что Лена во всех трёх пробуждениях обязана дать одинаковый ответ. Для того, чтобы доказать это, он доказывает отдельно сначала P(T1)=P(T2), а потом P(H1)=P(T1).

Почему P(T1)=P(T2)? Потому что мы можем "сузить" пространство перебора до T1 и T2, просто сообщив Лене в понедельник после пробуждения, что монета выпала решкой. Если Лена узнаёт, что монета выпала решкой, это значит, что возможности H1 больше не существует, т.е. верно утверждение "T1 или T2". Может ли тогда Лена каким-то образом выбрать между T1 или T2 (т.е. решить, понедельник сейчас или вторник)?. Ясно, что не может. Это всё равно, как если бы мы изначально просто не бросали никаких монет, а усыпили Лену в воскресенье, разбудили её в понедельник, дали медикамент, стирающий последние 24 часа, и разбудили опять во вторник. Есть ли у неё какая-то возможность решить при пробуждении, в понедельник она проснулась или во вторник? Конечно, нет, именно об этом позаботился медикамент; поэтому её субъективная вероятность того, что сейчас понедельник, должна быть 1/2 (применение так называемого principle of indiference (см. статью Эльги), в данном случае очень ограниченного и потому вроде бы проблем не вызывающего).

Значит, субъективная вероятность Лены того, что верно T1 (при условии, что выпала решка), равна её субъективной вероятности того, что верно T2 (при условии, что выпала решка). Формально: P(T1 | T1 или T2) = P(T2 | T1 или T2). Но отсюда немедленно следует, что P(T1) = P(T2).

(интуитивно это должно быть понятно, но вот техническое объяснение: например, из формулы, определяющей условную вероятность: P(X | Y) = P(X и Y)/P(Y). Применив эти формулу к обеим частям, получим P(T1 и (T1 или T2)) / P(T1 или Т2) =
P(T2 и (T1 или T2)) / P(T1 или T2). Но событие T1 и (T1 или T2) идентично событию T1 (если верно T1, то тем более верно (T1 или T2), и таким же образом T2 и (T1 или T2) идентично T2. Поэтому, сокращая, получаем P(T1)=P(T2)).

Итак, путём применения довольно логичного случая принципа безразличия, мы пришли к выводу, что P(T1)=P(T2) Двоечник Льюис в своей статье не оспаривает этот результат (а т.к. он считает, что P(H1)=1/2, отсюда следует, кстати, что для него P(T1)=P(T2)=1/4).

Почему теперь P(H1)=P(T1) с точки зрения Эльги? Он говорит следующее. Предположим, что мы изменим эксперимент так, что монету кидают не в воскресенье вечером, а в понедельник днём. Это не должно абсолютно ничего изменить, т.к. поступают согласно результату броска монеты всё равно только в понедельник вечером! Поэтому все вероятности должны оставаться такими же в этом случае. Просто, например P(H) теперь значит не вероятность того, что орёл выпал в воскресенье, а вероятность того, что орёл выпадет вскоре в понедельник. Итп.

Если мы теперь сообщим Лене в понедельник после пробуждения, что сейчас действительно понедельник, мы тем самым отметаем возможность T2 и сужаемся до возможности "H1 или T1". Но в чём заключается для Лены выбор между H1 и T1 в этом новом эксперименте? Всего лишь в том, выпадет орёл или решка в бросании честной монеты, которое скоро будет проведено. Т.к. монета честная, то вероятность должна быть 1/2. Поэтому для Лены P(H1 | H1 или T1) = P(T1 | H1 или T1) = 1/2, и по той же причине, что и в прошлом случае, мы получаем P(H1)=P(T1).

Итак, мы попытались доказать, что все три вероятности при трёх пробуждениях равны, использовав два аргумента: один, основанный на "принципе безразличия", другой, основанный на честности монеты и небольшом изменении, проведенном в эксперименте, которое вроде бы ничего не должно менять. Мы заключаем, что P(H1)=P(T1)=P(T2) и поэтому P(H1)=1/3. На этом Эльга завершает своё доказательство.

Льюис в своей статье оспаривает второй его аргумент: он не согласен, что P(H1)=P(T1) (т.к. Льюис двоечник, он считает, что P(H1)=1/2, а P(T1)=1/4). Льюис не согласен, что если изменить эксперимент так, что монета бросается в понедельник днём, это ничего не меняет в вероятностях. Признаюсь, я не совсем понял его аргумент по этому поводу (или я его понял, но он не показался мне убедительным). Дорр в своей статье приводит ещё одно изменение эксперимента, которое, по его мнению, более убедительно, чем сам Эльга, доказывает правоту Эльги: то, что P(H1)=P(T1). Желающих это понять отсылаю к статье Дорра.


Вроде всё. Замечания, дополнения итп. приветствуются.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 18 comments