Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

вести с логического фронта: Виттгенштейн Гёдель

Между тем в рассылке FOM (Foundations of Mathematics) уже две недели, оказывается, идут ожесточённые споры о Виттгенштейне и Гёделе (у меня эта рассылка складывается автоматически в отдельную папку, и я иногда забываю её читать).

Виттгенштейн немало написал о философии математики; большинство написанного им на эту тему собрано в опубликованном посмертно сборнике Remarks on the Foundations of Mathematics (1956). Надо отметить, что существует мнение (которого придерживаются и многие из тех, кто ценят у уважают труды Виттгенштейна в других областях), согласно которому взгляды Виттгенштейна на философию математики особого интереса не представляют, потому что В. очень плохо знал математику, и его рассуждения полны элементарных технических и математических ошибок и заблуждений (мне это мнение кажется более или менее верным). Другие считают, что, несмотря на математические ошибки (некоторые из которых они считают не ошибками, а неправильной интерпретацией слов В.), в рассуждениях В. на эти темы есть очень много важного и полезного.

В этот раз обсуждается высказывание В. о знаменитой теореме Гёделя о неполноте — высказывание, которое обычно считается свидетельством того, что В. теорему Гёделя совершенно не понял.

Вот это высказывание:
I imagine someone asking my advice; he says: "I have constructed a
proposition (I will use 'P' to designate it) in Russell's symbolism, and by
means of certain definitions and transformations it can be so interpreted
(or clarified) that it says: 'P is not provable in Russell's system'. Must I
not say that this proposition on the one hand is true, and on the other hand
is unprovable? For suppose it were false; then it is true that it is
provable. And that surely cannot be! And if it is proved, then it is proved
that it is not provable. Thus it can only be true but unprovable.

Just as we ask: "'provable' in what system?", so we must also ask: "'true'
in what system?" 'True in Russell's system' means, as was said: proved in
Russell's system; and 'false in Russell's system' means: the opposite has
been proved in Russell's system. Now what does your "suppose it is false"
mean? In the Russell sense it means 'suppose the opposite is proved in
Russell's system'; if that is your assumption, you will now presumably give
up the interpretation that it is unprovable. And by 'this interpretation' I
understand the translation into this English sentence.—if you assume that
the proposition is provable in Russell's system, that means it is true in
the Russell sense, and the interpretation "P is not provable" again has to
be given up. If you assume that the proposition is true in the Russell
sense, the same thing follows. Further: if the proposition is supposed to be
false in some other than the Russell sense, then it does not contradict this
for it to be proved in Russell's system. (What is called "losing" in chess
may constitute winning in another game.) (RFM, I, Appendix III, §8)

Первый абзац здесь — относительно нормальный пересказ одной из версий "неформального" аргумента первой теоремы о неполноте Гёделя; со вторым абзацем плохо — там идёт густой туман, который, кажется, можно объяснить только тем, что В. не очень понимает, что такое "истинность" в формальной логике и чем она отличается от доказуемости (не различает синтаксис и семантику, одним словом).

Так вот, оказывается, Floyd & Putnam (имя первой мне раньше не встречалось, второй — очень известный философ, специалист в области философии науки/математики/логики) опубликовали статью пару лет назад, в которой они утверждают, что в этом отрывке из Виттгенштейна скрывается глубокая, технически нетривиальная мысль, которую все проглядели. Вокруг этой статьи и развивается сейчас дискуссия в FOM, с периодическим участием Floyd.

Статья Флойд и Патнема есть в сети (формат PDF). Она не слишком длинна и хорошо написана. Моё первичное впечатление вот какое:
  • Изобретательность, с какой авторы статьи впихивают нетривиальное содержание в слова Виттгенштейна — поразительна; тем не менее,
  • всё же это слишком неубедительно — как то, что Виттгенштейн мог сам дойти до этого (не слишком сложного, но технически нетривиального) результата в области, в которой он, судя по другим его рассуждениям вокруг и около, очень мало понимал; так и то, что если бы он хотел именно это сказать, то записал бы так, как он написал. Кроме того,
  • сам аргумент, приписываемый В., вызывает у меня подозрения; точнее, его можно разделить на математическую и философскую части, и то, что философская интерпретация (а именно: нам нужно будет отказаться от представления о том, что наша формула передаёт неформально утверждение о том, что её невозможно доказать в PM) следует из математического результата (а именно: нестандартные модели у теории, которая не омега-консистентна). Мне кажется, что Floyd & Putnam совершенно необоснованно переходят от синтаксической репрезентации соответствующих предикатов "x — натуральное число" итп. к их семантической репрезентации. Доказательство теоремы Гёделя использует синтаксическую арифметизацию, в рамках которой не очень важно, какие именно члены какой-нибудь модели будут выполнять нашу формулу "x — натуральное число"; важно, чтобы сама теория T, для которой мы доказываем неполноту, доказывала нужные свойства наших арифметизированных предикатов.

Впрочем, насчёт третьего возражения я пока не уверен, это только набросок мысли; но это возражение, с другой стороны — самое существенное с точки зрения собственно аргумента Floyd & Putnam (а не вопроса о том, что думал или не думал Виттгенштейн). Если смогу ещё подумать над этим и уточнить как следует мысль, напишу в FOM по этому поводу.

Вообще, любопытно, как много копий ломают в данном случае (и, конечно, очень часто в современной философии вообще) не по поводу какого-то конкретного утверждения — т.е. не по поводу истинности/оправданности/интересности какого-то философского аргумента — а по поводу того, что именно имел в виду в данном случае знаменитый философ.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 19 comments