(эта запись может быть интересна математикам и сочувствующим)
1. Группы, у которых операция некоммутативна, называются белевы группы (belian groups).
2. Если вы подзабыли доказательство фундаментальной теоремы арифметики (разложение на простые множители), то это очень просто. Пусть дано положительное целое число n, посмотрим на конечную группу Z/(n). Поскольку она конечна, у нее есть композиционный ряд 1 <= G_1 <=... <= G. Его фактор-группы простые и абелевы, поэтому должны иметь простые порядки, а это дает нам разбитие n = |G| на простые множители. Если есть два таких разбития, то они порождают два композиционных ряда 1 <= G_1 <=... <= G, 1 <= H_1 <=... <= G, и по
теореме Жордана-Гёльдера их длины равны и фактор-группы изоморфны, что как раз и значит, что набор простых множителей одинаков с точностью до перестановок.
Это док-во приводится в частности в "Алгебре" Бурбаки (спасибо
french_man).
3. В том же духе, что предыдущий пункт, следующая жемчужина. Нужно доказать, что в конечном кольце с единицей любой элемент либо делитель нуля, либо обратимый.
Доказательство (
предложено всерьез Питом Кларком):
Свойство "каждый элемент либо делитель нуля, либо обратимый" сохраняется при прямом произведении колец с таким свойством (если хоть одна из координат элемента произведения делитель нуля, то элемент тоже делитель нуля, если нет, то он обратим). Конечное кольцо является артиновым, а любое артиново кольцо - конечное произведение локальных артиновых колец. Ввиду вышеуказанного, задача сводится к док-ву свойства для локального артинового кольца. В любом артиновом кольце радикал Джекобсона нильпотентен, а раз кольцо локально, то его максимальный идеал, состоящий из всех необратимых элементов, нильпотентен. Значит, есть n, так что произведение n любых необратимых элементов равно 0, и в частности каждый необратимый элемент - делитель нуля.
Элементарный аргумент: элемент a не делитель нуля iff x->ax инъекция. Элемент a обратим iff x->ax суръекция.
В конечном кольце суръективность и инъективность x->ax эквивалентны.
